Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67557 / 47173
↖ ↑ ↗
← N 44.955080°
E  5.550842°		 ← 216.14 m → N 44.955080°
E  5.553589°		 →
↑
216.10 m
↓
↑
216.10 m
↓
N 44.953137°
E  5.550842°		 ← 216.15 m →
46 709 m²		 N 44.953137°
E  5.553589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515422821044922 y=0.359905242919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515422821044922 × 217)
    floor (0.515422821044922 × 131072)
    floor (67557.5)     		tx = 67557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359905242919922 × 217)
    floor (0.359905242919922 × 131072)
    floor (47173.5)     		ty = 47173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67557 / 47173 ti = "17/67557/47173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67557/47173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67557 ÷ 217
    67557 ÷ 131072     		x = 0.515419006347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47173 ÷ 217
    47173 ÷ 131072     		y = 0.359901428222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515419006347656 × 2 - 1) × π
    0.0308380126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09688047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359901428222656 × 2 - 1) × π
    0.280197143554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.880265287723091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09688047} λ = 0.09688047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.880265287723091))-π/2
    2×atan(2.41153937335507)-π/2
    2×1.17770524858123-π/2
    2.35541049716247-1.57079632675     		φ = 0.78461417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09688047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.550842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78461417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.955080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67557 KachelY 47173 0.09688047 0.78461417 5.550842 44.955080
    Oben rechts KachelX + 1 67558 KachelY 47173 0.09692841 0.78461417 5.553589 44.955080
    Unten links KachelX 67557 KachelY + 1 47174 0.09688047 0.78458025 5.550842 44.953137
    Unten rechts KachelX + 1 67558 KachelY + 1 47174 0.09692841 0.78458025 5.553589 44.953137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78461417-0.78458025) × R
    3.39200000000206e-05 × 6371000     		dl = 216.104320000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78461417-0.78458025) × R
    3.39200000000206e-05 × 6371000     		dr = 216.104320000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09688047-0.09692841) × cos(0.78461417) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.707660930867457 × 6371000     		do = 216.137863479328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09688047-0.09692841) × cos(0.78458025) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.707684896710866 × 6371000     		du = 216.145183264786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78461417)-sin(0.78458025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707660930867457-0.707684896710866)×R²
    abs(0.09692841-0.09688047)×2.39658434082468e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39658434082468e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39658434082468e-05×40589641000000     		ar = 46709.1169364339m²