Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67557 / 44965
↖ ↑ ↗
← N 49.086459°
E  5.550842°		 ← 200.03 m → N 49.086459°
E  5.553589°		 →
↑
200.05 m
↓
↑
200.05 m
↓
N 49.084660°
E  5.550842°		 ← 200.04 m →
40 016 m²		 N 49.084660°
E  5.553589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515422821044922 y=0.343059539794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515422821044922 × 217)
    floor (0.515422821044922 × 131072)
    floor (67557.5)     		tx = 67557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343059539794922 × 217)
    floor (0.343059539794922 × 131072)
    floor (44965.5)     		ty = 44965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67557 / 44965 ti = "17/67557/44965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67557/44965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67557 ÷ 217
    67557 ÷ 131072     		x = 0.515419006347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44965 ÷ 217
    44965 ÷ 131072     		y = 0.343055725097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515419006347656 × 2 - 1) × π
    0.0308380126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09688047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343055725097656 × 2 - 1) × π
    0.313888549804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.986109962084175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09688047} λ = 0.09688047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.986109962084175))-π/2
    2×atan(2.68078580424511)-π/2
    2×1.21375832747465-π/2
    2.42751665494931-1.57079632675     		φ = 0.85672033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09688047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.550842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85672033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.086459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67557 KachelY 44965 0.09688047 0.85672033 5.550842 49.086459
    Oben rechts KachelX + 1 67558 KachelY 44965 0.09692841 0.85672033 5.553589 49.086459
    Unten links KachelX 67557 KachelY + 1 44966 0.09688047 0.85668893 5.550842 49.084660
    Unten rechts KachelX + 1 67558 KachelY + 1 44966 0.09692841 0.85668893 5.553589 49.084660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85672033-0.85668893) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dl = 200.049400000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85672033-0.85668893) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dr = 200.049400000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09688047-0.09692841) × cos(0.85672033) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.654919428344261 × 6371000     		do = 200.029251042466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09688047-0.09692841) × cos(0.85668893) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.654943156960932 × 6371000     		du = 200.036498372771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85672033)-sin(0.85668893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654919428344261-0.654943156960932)×R²
    abs(0.09692841-0.09688047)×2.37286166712147e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.37286166712147e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.37286166712147e-05×40589641000000     		ar = 40016.4565687461m²