Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67556 / 47174
↖ ↑ ↗
← N 44.953137°
E  5.548096°		 ← 216.10 m → N 44.953137°
E  5.550842°		 →
↑
216.17 m
↓
↑
216.17 m
↓
N 44.951193°
E  5.548096°		 ← 216.11 m →
46 715 m²		 N 44.951193°
E  5.550842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515415191650391 y=0.359912872314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515415191650391 × 217)
    floor (0.515415191650391 × 131072)
    floor (67556.5)     		tx = 67556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359912872314453 × 217)
    floor (0.359912872314453 × 131072)
    floor (47174.5)     		ty = 47174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67556 / 47174 ti = "17/67556/47174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67556/47174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67556 ÷ 217
    67556 ÷ 131072     		x = 0.515411376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47174 ÷ 217
    47174 ÷ 131072     		y = 0.359909057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515411376953125 × 2 - 1) × π
    0.03082275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09683254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359909057617188 × 2 - 1) × π
    0.280181884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.880217350823471
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09683254} λ = 0.09683254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.880217350823471))-π/2
    2×atan(2.41142377440495)-π/2
    2×1.17768828675849-π/2
    2.35537657351699-1.57079632675     		φ = 0.78458025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09683254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.548096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78458025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.953137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67556 KachelY 47174 0.09683254 0.78458025 5.548096 44.953137
    Oben rechts KachelX + 1 67557 KachelY 47174 0.09688047 0.78458025 5.550842 44.953137
    Unten links KachelX 67556 KachelY + 1 47175 0.09683254 0.78454632 5.548096 44.951193
    Unten rechts KachelX + 1 67557 KachelY + 1 47175 0.09688047 0.78454632 5.550842 44.951193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78458025-0.78454632) × R
    3.39299999999598e-05 × 6371000     		dl = 216.168029999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78458025-0.78454632) × R
    3.39299999999598e-05 × 6371000     		dr = 216.168029999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09683254-0.09688047) × cos(0.78458025) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.707684896710866 × 6371000     		do = 216.100096659977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09683254-0.09688047) × cos(0.78454632) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.707708868805077 × 6371000     		du = 216.107416827329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78458025)-sin(0.78454632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707684896710866-0.707708868805077)×R²
    abs(0.09688047-0.09683254)×2.39720942116772e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39720942116772e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39720942116772e-05×40589641000000     		ar = 46714.723375368m²