Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67556 / 47098
↖ ↑ ↗
← N 45.100669°
E  5.548096°		 ← 215.54 m → N 45.100669°
E  5.550842°		 →
↑
215.59 m
↓
↑
215.59 m
↓
N 45.098730°
E  5.548096°		 ← 215.55 m →
46 471 m²		 N 45.098730°
E  5.550842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515415191650391 y=0.359333038330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515415191650391 × 217)
    floor (0.515415191650391 × 131072)
    floor (67556.5)     		tx = 67556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359333038330078 × 217)
    floor (0.359333038330078 × 131072)
    floor (47098.5)     		ty = 47098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67556 / 47098 ti = "17/67556/47098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67556/47098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67556 ÷ 217
    67556 ÷ 131072     		x = 0.515411376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47098 ÷ 217
    47098 ÷ 131072     		y = 0.359329223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515411376953125 × 2 - 1) × π
    0.03082275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09683254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359329223632812 × 2 - 1) × π
    0.281341552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.883860555194595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09683254} λ = 0.09683254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883860555194595))-π/2
    2×atan(2.42022510683192)-π/2
    2×1.17897574800122-π/2
    2.35795149600244-1.57079632675     		φ = 0.78715517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09683254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.548096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78715517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.100669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67556 KachelY 47098 0.09683254 0.78715517 5.548096 45.100669
    Oben rechts KachelX + 1 67557 KachelY 47098 0.09688047 0.78715517 5.550842 45.100669
    Unten links KachelX 67556 KachelY + 1 47099 0.09683254 0.78712133 5.548096 45.098730
    Unten rechts KachelX + 1 67557 KachelY + 1 47099 0.09688047 0.78712133 5.550842 45.098730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78715517-0.78712133) × R
    3.38400000000627e-05 × 6371000     		dl = 215.5946400004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78715517-0.78712133) × R
    3.38400000000627e-05 × 6371000     		dr = 215.5946400004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09683254-0.09688047) × cos(0.78715517) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.705863299097956 × 6371000     		do = 215.543849915056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09683254-0.09688047) × cos(0.78712133) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.705887269192833 × 6371000     		du = 215.551169471887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78715517)-sin(0.78712133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705863299097956-0.705887269192833)×R²
    abs(0.09688047-0.09683254)×2.39700948776456e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39700948776456e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39700948776456e-05×40589641000000     		ar = 46470.8877596483m²