Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67556 / 44964
↖ ↑ ↗
← N 49.088258°
E  5.548096°		 ← 199.98 m → N 49.088258°
E  5.550842°		 →
↑
199.99 m
↓
↑
199.99 m
↓
N 49.086459°
E  5.548096°		 ← 199.99 m →
39 994 m²		 N 49.086459°
E  5.550842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515415191650391 y=0.343051910400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515415191650391 × 217)
    floor (0.515415191650391 × 131072)
    floor (67556.5)     		tx = 67556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343051910400391 × 217)
    floor (0.343051910400391 × 131072)
    floor (44964.5)     		ty = 44964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67556 / 44964 ti = "17/67556/44964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67556/44964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67556 ÷ 217
    67556 ÷ 131072     		x = 0.515411376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44964 ÷ 217
    44964 ÷ 131072     		y = 0.343048095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515411376953125 × 2 - 1) × π
    0.03082275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09683254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343048095703125 × 2 - 1) × π
    0.31390380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.986157898983795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09683254} λ = 0.09683254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.986157898983795))-π/2
    2×atan(2.68091431588531)-π/2
    2×1.21377402459381-π/2
    2.42754804918762-1.57079632675     		φ = 0.85675172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09683254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.548096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85675172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.088258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67556 KachelY 44964 0.09683254 0.85675172 5.548096 49.088258
    Oben rechts KachelX + 1 67557 KachelY 44964 0.09688047 0.85675172 5.550842 49.088258
    Unten links KachelX 67556 KachelY + 1 44965 0.09683254 0.85672033 5.548096 49.086459
    Unten rechts KachelX + 1 67557 KachelY + 1 44965 0.09688047 0.85672033 5.550842 49.086459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85675172-0.85672033) × R
    3.13899999999645e-05 × 6371000     		dl = 199.985689999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85675172-0.85672033) × R
    3.13899999999645e-05 × 6371000     		dr = 199.985689999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09683254-0.09688047) × cos(0.85675172) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.654895706639058 × 6371000     		do = 199.980282417594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09683254-0.09688047) × cos(0.85672033) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.654919428344261 × 6371000     		du = 199.98752612565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85675172)-sin(0.85672033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654895706639058-0.654919428344261)×R²
    abs(0.09688047-0.09683254)×2.37217052028171e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37217052028171e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37217052028171e-05×40589641000000     		ar = 39993.9190879191m²