Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67554 / 44963
↖ ↑ ↗
← N 49.090057°
E  5.542602°		 ← 200.01 m → N 49.090057°
E  5.545349°		 →
↑
200.05 m
↓
↑
200.05 m
↓
N 49.088258°
E  5.542602°		 ← 200.02 m →
40 014 m²		 N 49.088258°
E  5.545349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515399932861328 y=0.343044281005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515399932861328 × 217)
    floor (0.515399932861328 × 131072)
    floor (67554.5)     		tx = 67554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343044281005859 × 217)
    floor (0.343044281005859 × 131072)
    floor (44963.5)     		ty = 44963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67554 / 44963 ti = "17/67554/44963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67554/44963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67554 ÷ 217
    67554 ÷ 131072     		x = 0.515396118164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44963 ÷ 217
    44963 ÷ 131072     		y = 0.343040466308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515396118164062 × 2 - 1) × π
    0.030792236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09673666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343040466308594 × 2 - 1) × π
    0.313919067382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.986205835883415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09673666} λ = 0.09673666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.986205835883415))-π/2
    2×atan(2.68104283368611)-π/2
    2×1.21378972114432-π/2
    2.42757944228864-1.57079632675     		φ = 0.85678312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09673666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.542602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85678312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.090057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67554 KachelY 44963 0.09673666 0.85678312 5.542602 49.090057
    Oben rechts KachelX + 1 67555 KachelY 44963 0.09678460 0.85678312 5.545349 49.090057
    Unten links KachelX 67554 KachelY + 1 44964 0.09673666 0.85675172 5.542602 49.088258
    Unten rechts KachelX + 1 67555 KachelY + 1 44964 0.09678460 0.85675172 5.545349 49.088258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85678312-0.85675172) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dl = 200.049400000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85678312-0.85675172) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dr = 200.049400000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09673666-0.09678460) × cos(0.85678312) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.654871976731168 × 6371000     		do = 200.014758098364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09673666-0.09678460) × cos(0.85675172) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.654895706639058 × 6371000     		du = 200.022005823042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85678312)-sin(0.85675172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654871976731168-0.654895706639058)×R²
    abs(0.09678460-0.09673666)×2.37299078907904e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37299078907904e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37299078907904e-05×40589641000000     		ar = 40013.5573034247m²