Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67553 / 47097
↖ ↑ ↗
← N 45.102608°
E  5.539856°		 ← 215.54 m → N 45.102608°
E  5.542602°		 →
↑
215.59 m
↓
↑
215.59 m
↓
N 45.100669°
E  5.539856°		 ← 215.54 m →
46 469 m²		 N 45.100669°
E  5.542602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515392303466797 y=0.359325408935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515392303466797 × 217)
    floor (0.515392303466797 × 131072)
    floor (67553.5)     		tx = 67553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359325408935547 × 217)
    floor (0.359325408935547 × 131072)
    floor (47097.5)     		ty = 47097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67553 / 47097 ti = "17/67553/47097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67553/47097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67553 ÷ 217
    67553 ÷ 131072     		x = 0.515388488769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47097 ÷ 217
    47097 ÷ 131072     		y = 0.359321594238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515388488769531 × 2 - 1) × π
    0.0307769775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09668873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359321594238281 × 2 - 1) × π
    0.281356811523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.883908492094215
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09668873} λ = 0.09668873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883908492094215))-π/2
    2×atan(2.42034112770074)-π/2
    2×1.17899266616305-π/2
    2.35798533232609-1.57079632675     		φ = 0.78718901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09668873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.539856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78718901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.102608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67553 KachelY 47097 0.09668873 0.78718901 5.539856 45.102608
    Oben rechts KachelX + 1 67554 KachelY 47097 0.09673666 0.78718901 5.542602 45.102608
    Unten links KachelX 67553 KachelY + 1 47098 0.09668873 0.78715517 5.539856 45.100669
    Unten rechts KachelX + 1 67554 KachelY + 1 47098 0.09673666 0.78715517 5.542602 45.100669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78718901-0.78715517) × R
    3.38399999999517e-05 × 6371000     		dl = 215.594639999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78718901-0.78715517) × R
    3.38399999999517e-05 × 6371000     		dr = 215.594639999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09668873-0.09673666) × cos(0.78718901) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.705839328194762 × 6371000     		do = 215.536530111396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09668873-0.09673666) × cos(0.78715517) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.705863299097956 × 6371000     		du = 215.543849915056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78718901)-sin(0.78715517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705839328194762-0.705863299097956)×R²
    abs(0.09673666-0.09668873)×2.39709031937263e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39709031937263e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39709031937263e-05×40589641000000     		ar = 46469.3096758091m²