Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67549 / 47117
↖ ↑ ↗
← N 45.063822°
E  5.528870°		 ← 215.73 m → N 45.063822°
E  5.531616°		 →
↑
215.72 m
↓
↑
215.72 m
↓
N 45.061882°
E  5.528870°		 ← 215.74 m →
46 538 m²		 N 45.061882°
E  5.531616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515361785888672 y=0.359477996826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515361785888672 × 217)
    floor (0.515361785888672 × 131072)
    floor (67549.5)     		tx = 67549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359477996826172 × 217)
    floor (0.359477996826172 × 131072)
    floor (47117.5)     		ty = 47117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67549 / 47117 ti = "17/67549/47117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67549/47117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67549 ÷ 217
    67549 ÷ 131072     		x = 0.515357971191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47117 ÷ 217
    47117 ÷ 131072     		y = 0.359474182128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515357971191406 × 2 - 1) × π
    0.0307159423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09649698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359474182128906 × 2 - 1) × π
    0.281051635742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.882949754101814
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09649698} λ = 0.09649698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.882949754101814))-π/2
    2×atan(2.41802176671445)-π/2
    2×1.17865419377455-π/2
    2.35730838754909-1.57079632675     		φ = 0.78651206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09649698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.528870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78651206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.063822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67549 KachelY 47117 0.09649698 0.78651206 5.528870 45.063822
    Oben rechts KachelX + 1 67550 KachelY 47117 0.09654492 0.78651206 5.531616 45.063822
    Unten links KachelX 67549 KachelY + 1 47118 0.09649698 0.78647820 5.528870 45.061882
    Unten rechts KachelX + 1 67550 KachelY + 1 47118 0.09654492 0.78647820 5.531616 45.061882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78651206-0.78647820) × R
    3.38599999999412e-05 × 6371000     		dl = 215.722059999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78651206-0.78647820) × R
    3.38599999999412e-05 × 6371000     		dr = 215.722059999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09649698-0.09654492) × cos(0.78651206) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.706318698831369 × 6371000     		do = 215.727911266454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09649698-0.09654492) × cos(0.78647820) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.70634266771684 × 6371000     		du = 215.735231981036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78651206)-sin(0.78647820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706318698831369-0.70634266771684)×R²
    abs(0.09654492-0.09649698)×2.39688854707376e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39688854707376e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39688854707376e-05×40589641000000     		ar = 46538.059042031m²