Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67544 / 47112
↖ ↑ ↗
← N 45.073521°
E  5.515136°		 ← 215.69 m → N 45.073521°
E  5.517883°		 →
↑
215.66 m
↓
↑
215.66 m
↓
N 45.071581°
E  5.515136°		 ← 215.70 m →
46 516 m²		 N 45.071581°
E  5.517883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515323638916016 y=0.359439849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515323638916016 × 217)
    floor (0.515323638916016 × 131072)
    floor (67544.5)     		tx = 67544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359439849853516 × 217)
    floor (0.359439849853516 × 131072)
    floor (47112.5)     		ty = 47112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67544 / 47112 ti = "17/67544/47112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67544/47112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67544 ÷ 217
    67544 ÷ 131072     		x = 0.51531982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47112 ÷ 217
    47112 ÷ 131072     		y = 0.35943603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51531982421875 × 2 - 1) × π
    0.0306396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09625729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35943603515625 × 2 - 1) × π
    0.2811279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.883189438599915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09625729} λ = 0.09625729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883189438599915))-π/2
    2×atan(2.4186013985096)-π/2
    2×1.17873883341483-π/2
    2.35747766682967-1.57079632675     		φ = 0.78668134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09625729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.515136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78668134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.073521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67544 KachelY 47112 0.09625729 0.78668134 5.515136 45.073521
    Oben rechts KachelX + 1 67545 KachelY 47112 0.09630523 0.78668134 5.517883 45.073521
    Unten links KachelX 67544 KachelY + 1 47113 0.09625729 0.78664749 5.515136 45.071581
    Unten rechts KachelX + 1 67545 KachelY + 1 47113 0.09630523 0.78664749 5.517883 45.071581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78668134-0.78664749) × R
    3.38500000000019e-05 × 6371000     		dl = 215.658350000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78668134-0.78664749) × R
    3.38500000000019e-05 × 6371000     		dr = 215.658350000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09625729-0.09630523) × cos(0.78668134) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.706198856417924 × 6371000     		do = 215.691308308644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09625729-0.09630523) × cos(0.78664749) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.706222822271716 × 6371000     		du = 215.698628097273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78668134)-sin(0.78664749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706198856417924-0.706222822271716)×R²
    abs(0.09630523-0.09625729)×2.39658537918297e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39658537918297e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39658537918297e-05×40589641000000     		ar = 46516.4209503658m²