Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67543 / 47113
↖ ↑ ↗
← N 45.071581°
E  5.512390°		 ← 215.65 m → N 45.071581°
E  5.515136°		 →
↑
215.72 m
↓
↑
215.72 m
↓
N 45.069641°
E  5.512390°		 ← 215.66 m →
46 522 m²		 N 45.069641°
E  5.515136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515316009521484 y=0.359447479248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515316009521484 × 217)
    floor (0.515316009521484 × 131072)
    floor (67543.5)     		tx = 67543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359447479248047 × 217)
    floor (0.359447479248047 × 131072)
    floor (47113.5)     		ty = 47113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67543 / 47113 ti = "17/67543/47113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67543/47113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67543 ÷ 217
    67543 ÷ 131072     		x = 0.515312194824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47113 ÷ 217
    47113 ÷ 131072     		y = 0.359443664550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515312194824219 × 2 - 1) × π
    0.0306243896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09620936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359443664550781 × 2 - 1) × π
    0.281112670898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.883141501700294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09620936} λ = 0.09620936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883141501700294))-π/2
    2×atan(2.418485461036)-π/2
    2×1.17872190663575-π/2
    2.35744381327149-1.57079632675     		φ = 0.78664749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09620936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.512390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78664749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.071581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67543 KachelY 47113 0.09620936 0.78664749 5.512390 45.071581
    Oben rechts KachelX + 1 67544 KachelY 47113 0.09625729 0.78664749 5.515136 45.071581
    Unten links KachelX 67543 KachelY + 1 47114 0.09620936 0.78661363 5.512390 45.069641
    Unten rechts KachelX + 1 67544 KachelY + 1 47114 0.09625729 0.78661363 5.515136 45.069641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78664749-0.78661363) × R
    3.38600000000522e-05 × 6371000     		dl = 215.722060000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78664749-0.78661363) × R
    3.38600000000522e-05 × 6371000     		dr = 215.722060000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09620936-0.09625729) × cos(0.78664749) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.706222822271716 × 6371000     		do = 215.653634641228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09620936-0.09625729) × cos(0.78661363) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.706246794395959 × 6371000     		du = 215.66095481775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78664749)-sin(0.78661363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706222822271716-0.706246794395959)×R²
    abs(0.09625729-0.09620936)×2.3972124243099e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3972124243099e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3972124243099e-05×40589641000000     		ar = 46522.0358776977m²