Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67540 / 47228
↖ ↑ ↗
← N 44.848080°
E  5.504151°		 ← 216.50 m → N 44.848080°
E  5.506897°		 →
↑
216.49 m
↓
↑
216.49 m
↓
N 44.846133°
E  5.504151°		 ← 216.50 m →
46 869 m²		 N 44.846133°
E  5.506897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515293121337891 y=0.360324859619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515293121337891 × 217)
    floor (0.515293121337891 × 131072)
    floor (67540.5)     		tx = 67540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360324859619141 × 217)
    floor (0.360324859619141 × 131072)
    floor (47228.5)     		ty = 47228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67540 / 47228 ti = "17/67540/47228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67540/47228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67540 ÷ 217
    67540 ÷ 131072     		x = 0.515289306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47228 ÷ 217
    47228 ÷ 131072     		y = 0.360321044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515289306640625 × 2 - 1) × π
    0.03057861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09606555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360321044921875 × 2 - 1) × π
    0.27935791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.877628758243988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09606555} λ = 0.09606555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.877628758243988))-π/2
    2×atan(2.40518965299788)-π/2
    2×1.17677149522167-π/2
    2.35354299044334-1.57079632675     		φ = 0.78274666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09606555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.504151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78274666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.848080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67540 KachelY 47228 0.09606555 0.78274666 5.504151 44.848080
    Oben rechts KachelX + 1 67541 KachelY 47228 0.09611348 0.78274666 5.506897 44.848080
    Unten links KachelX 67540 KachelY + 1 47229 0.09606555 0.78271268 5.504151 44.846133
    Unten rechts KachelX + 1 67541 KachelY + 1 47229 0.09611348 0.78271268 5.506897 44.846133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78274666-0.78271268) × R
    3.3979999999989e-05 × 6371000     		dl = 216.48657999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78274666-0.78271268) × R
    3.3979999999989e-05 × 6371000     		dr = 216.48657999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09606555-0.09611348) × cos(0.78274666) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.708979189377179 × 6371000     		do = 216.495324495977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09606555-0.09611348) × cos(0.78271268) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.709003152662936 × 6371000     		du = 216.502641973561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78274666)-sin(0.78271268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708979189377179-0.709003152662936)×R²
    abs(0.09611348-0.09606555)×2.39632857572669e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39632857572669e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39632857572669e-05×40589641000000     		ar = 46869.1244585366m²