Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67539 / 47225
↖ ↑ ↗
← N 44.853922°
E  5.501404°		 ← 216.52 m → N 44.853922°
E  5.504151°		 →
↑
216.55 m
↓
↑
216.55 m
↓
N 44.851974°
E  5.501404°		 ← 216.53 m →
46 888 m²		 N 44.851974°
E  5.504151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515285491943359 y=0.360301971435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515285491943359 × 217)
    floor (0.515285491943359 × 131072)
    floor (67539.5)     		tx = 67539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360301971435547 × 217)
    floor (0.360301971435547 × 131072)
    floor (47225.5)     		ty = 47225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67539 / 47225 ti = "17/67539/47225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67539/47225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67539 ÷ 217
    67539 ÷ 131072     		x = 0.515281677246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47225 ÷ 217
    47225 ÷ 131072     		y = 0.360298156738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515281677246094 × 2 - 1) × π
    0.0305633544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09601761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360298156738281 × 2 - 1) × π
    0.279403686523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.877772568942848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09601761} λ = 0.09601761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.877772568942848))-π/2
    2×atan(2.40553556987545)-π/2
    2×1.17682247203268-π/2
    2.35364494406536-1.57079632675     		φ = 0.78284862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09601761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.501404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78284862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.853922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67539 KachelY 47225 0.09601761 0.78284862 5.501404 44.853922
    Oben rechts KachelX + 1 67540 KachelY 47225 0.09606555 0.78284862 5.504151 44.853922
    Unten links KachelX 67539 KachelY + 1 47226 0.09601761 0.78281463 5.501404 44.851974
    Unten rechts KachelX + 1 67540 KachelY + 1 47226 0.09606555 0.78281463 5.504151 44.851974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78284862-0.78281463) × R
    3.39900000000393e-05 × 6371000     		dl = 216.55029000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78284862-0.78281463) × R
    3.39900000000393e-05 × 6371000     		dr = 216.55029000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09601761-0.09606555) × cos(0.78284862) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.708907280502288 × 6371000     		do = 216.518530738782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09601761-0.09606555) × cos(0.78281463) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.708931253297068 × 6371000     		du = 216.525852647368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78284862)-sin(0.78281463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708907280502288-0.708931253297068)×R²
    abs(0.09606555-0.09601761)×2.39727947801693e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39727947801693e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39727947801693e-05×40589641000000     		ar = 46887.9434071627m²