Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67538 / 47227
↖ ↑ ↗
← N 44.850028°
E  5.498657°		 ← 216.53 m → N 44.850028°
E  5.501404°		 →
↑
216.55 m
↓
↑
216.55 m
↓
N 44.848080°
E  5.498657°		 ← 216.54 m →
46 891 m²		 N 44.848080°
E  5.501404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515277862548828 y=0.360317230224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515277862548828 × 217)
    floor (0.515277862548828 × 131072)
    floor (67538.5)     		tx = 67538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360317230224609 × 217)
    floor (0.360317230224609 × 131072)
    floor (47227.5)     		ty = 47227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67538 / 47227 ti = "17/67538/47227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67538/47227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67538 ÷ 217
    67538 ÷ 131072     		x = 0.515274047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47227 ÷ 217
    47227 ÷ 131072     		y = 0.360313415527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515274047851562 × 2 - 1) × π
    0.030548095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09596967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360313415527344 × 2 - 1) × π
    0.279373168945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.877676695143608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09596967} λ = 0.09596967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.877676695143608))-π/2
    2×atan(2.40530495309639)-π/2
    2×1.17678848806648-π/2
    2.35357697613297-1.57079632675     		φ = 0.78278065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09596967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.498657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78278065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.850028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67538 KachelY 47227 0.09596967 0.78278065 5.498657 44.850028
    Oben rechts KachelX + 1 67539 KachelY 47227 0.09601761 0.78278065 5.501404 44.850028
    Unten links KachelX 67538 KachelY + 1 47228 0.09596967 0.78274666 5.498657 44.848080
    Unten rechts KachelX + 1 67539 KachelY + 1 47228 0.09601761 0.78274666 5.501404 44.848080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78278065-0.78274666) × R
    3.39899999999282e-05 × 6371000     		dl = 216.550289999543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78278065-0.78274666) × R
    3.39899999999282e-05 × 6371000     		dr = 216.550289999543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09596967-0.09601761) × cos(0.78278065) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.708955218220271 × 6371000     		do = 216.533172151771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09596967-0.09601761) × cos(0.78274666) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.708979189377179 × 6371000     		du = 216.540493560108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78278065)-sin(0.78274666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708955218220271-0.708979189377179)×R²
    abs(0.09601761-0.09596967)×2.39711569083312e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39711569083312e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39711569083312e-05×40589641000000     		ar = 46891.1139549948m²