Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67537 / 47223
↖ ↑ ↗
← N 44.857816°
E  5.495911°		 ← 216.46 m → N 44.857816°
E  5.498657°		 →
↑
216.49 m
↓
↑
216.49 m
↓
N 44.855869°
E  5.495911°		 ← 216.47 m →
46 861 m²		 N 44.855869°
E  5.498657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515270233154297 y=0.360286712646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515270233154297 × 217)
    floor (0.515270233154297 × 131072)
    floor (67537.5)     		tx = 67537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360286712646484 × 217)
    floor (0.360286712646484 × 131072)
    floor (47223.5)     		ty = 47223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67537 / 47223 ti = "17/67537/47223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67537/47223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67537 ÷ 217
    67537 ÷ 131072     		x = 0.515266418457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47223 ÷ 217
    47223 ÷ 131072     		y = 0.360282897949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515266418457031 × 2 - 1) × π
    0.0305328369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09592174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360282897949219 × 2 - 1) × π
    0.279434204101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.877868442742088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09592174} λ = 0.09592174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.877868442742088))-π/2
    2×atan(2.40576620876567)-π/2
    2×1.17685645370096-π/2
    2.35371290740192-1.57079632675     		φ = 0.78291658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09592174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.495911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78291658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.857816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67537 KachelY 47223 0.09592174 0.78291658 5.495911 44.857816
    Oben rechts KachelX + 1 67538 KachelY 47223 0.09596967 0.78291658 5.498657 44.857816
    Unten links KachelX 67537 KachelY + 1 47224 0.09592174 0.78288260 5.495911 44.855869
    Unten rechts KachelX + 1 67538 KachelY + 1 47224 0.09596967 0.78288260 5.498657 44.855869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78291658-0.78288260) × R
    3.3979999999989e-05 × 6371000     		dl = 216.48657999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78291658-0.78288260) × R
    3.3979999999989e-05 × 6371000     		dr = 216.48657999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09592174-0.09596967) × cos(0.78291658) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.708859346562708 × 6371000     		do = 216.458729050869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09592174-0.09596967) × cos(0.78288260) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.708883313941751 × 6371000     		du = 216.466047778388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78291658)-sin(0.78288260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708859346562708-0.708883313941751)×R²
    abs(0.09596967-0.09592174)×2.39673790425332e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39673790425332e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39673790425332e-05×40589641000000     		ar = 46861.2021709372m²