Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67534 / 47200
↖ ↑ ↗
← N 44.902578°
E  5.487671°		 ← 216.29 m → N 44.902578°
E  5.490417°		 →
↑
216.36 m
↓
↑
216.36 m
↓
N 44.900632°
E  5.487671°		 ← 216.30 m →
46 797 m²		 N 44.900632°
E  5.490417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515247344970703 y=0.360111236572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515247344970703 × 217)
    floor (0.515247344970703 × 131072)
    floor (67534.5)     		tx = 67534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360111236572266 × 217)
    floor (0.360111236572266 × 131072)
    floor (47200.5)     		ty = 47200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67534 / 47200 ti = "17/67534/47200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67534/47200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67534 ÷ 217
    67534 ÷ 131072     		x = 0.515243530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47200 ÷ 217
    47200 ÷ 131072     		y = 0.360107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515243530273438 × 2 - 1) × π
    0.030487060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09577793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360107421875 × 2 - 1) × π
    0.27978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.87897099143335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09577793} λ = 0.09577793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87897099143335))-π/2
    2×atan(2.40842014592926)-π/2
    2×1.17724707772295-π/2
    2.3544941554459-1.57079632675     		φ = 0.78369783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09577793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.487671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78369783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.902578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67534 KachelY 47200 0.09577793 0.78369783 5.487671 44.902578
    Oben rechts KachelX + 1 67535 KachelY 47200 0.09582586 0.78369783 5.490417 44.902578
    Unten links KachelX 67534 KachelY + 1 47201 0.09577793 0.78366387 5.487671 44.900632
    Unten rechts KachelX + 1 67535 KachelY + 1 47201 0.09582586 0.78366387 5.490417 44.900632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78369783-0.78366387) × R
    3.39599999999995e-05 × 6371000     		dl = 216.359159999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78369783-0.78366387) × R
    3.39599999999995e-05 × 6371000     		dr = 216.359159999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09577793-0.09582586) × cos(0.78369783) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.708308075712955 × 6371000     		do = 216.290391865109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09577793-0.09582586) × cos(0.78366387) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.708332047785412 × 6371000     		du = 216.297712025818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78369783)-sin(0.78366387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708308075712955-0.708332047785412)×R²
    abs(0.09582586-0.09577793)×2.39720724571901e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39720724571901e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39720724571901e-05×40589641000000     		ar = 46797.1993964333m²