Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67533 / 47220
↖ ↑ ↗
← N 44.863656°
E  5.484924°		 ← 216.48 m → N 44.863656°
E  5.487671°		 →
↑
216.49 m
↓
↑
216.49 m
↓
N 44.861710°
E  5.484924°		 ← 216.49 m →
46 866 m²		 N 44.861710°
E  5.487671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515239715576172 y=0.360263824462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515239715576172 × 217)
    floor (0.515239715576172 × 131072)
    floor (67533.5)     		tx = 67533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360263824462891 × 217)
    floor (0.360263824462891 × 131072)
    floor (47220.5)     		ty = 47220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67533 / 47220 ti = "17/67533/47220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67533/47220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67533 ÷ 217
    67533 ÷ 131072     		x = 0.515235900878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47220 ÷ 217
    47220 ÷ 131072     		y = 0.360260009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515235900878906 × 2 - 1) × π
    0.0304718017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09572999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360260009765625 × 2 - 1) × π
    0.27947998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.878012253440948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09572999} λ = 0.09572999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.878012253440948))-π/2
    2×atan(2.40611220856409)-π/2
    2×1.17690742189478-π/2
    2.35381484378956-1.57079632675     		φ = 0.78301852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09572999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.484924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78301852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.863656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67533 KachelY 47220 0.09572999 0.78301852 5.484924 44.863656
    Oben rechts KachelX + 1 67534 KachelY 47220 0.09577793 0.78301852 5.487671 44.863656
    Unten links KachelX 67533 KachelY + 1 47221 0.09572999 0.78298454 5.484924 44.861710
    Unten rechts KachelX + 1 67534 KachelY + 1 47221 0.09577793 0.78298454 5.487671 44.861710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78301852-0.78298454) × R
    3.39800000001e-05 × 6371000     		dl = 216.486580000637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78301852-0.78298454) × R
    3.39800000001e-05 × 6371000     		dr = 216.486580000637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09572999-0.09577793) × cos(0.78301852) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.708787439514826 × 6371000     		do = 216.481928216504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09572999-0.09577793) × cos(0.78298454) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.708811409349218 × 6371000     		du = 216.489249220911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78301852)-sin(0.78298454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708787439514826-0.708811409349218)×R²
    abs(0.09577793-0.09572999)×2.39698343924566e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39698343924566e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39698343924566e-05×40589641000000     		ar = 46866.2247257052m²