Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6753 / 2008
↖ ↑ ↗
← N 79.335219°
W 31.618652°		 ← 452.16 m → N 79.335219°
W 31.596680°		 →
↑
452.28 m
↓
↑
452.28 m
↓
N 79.331152°
W 31.618652°		 ← 452.33 m →
204 540 m²		 N 79.331152°
W 31.596680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412200927734375 y=0.122589111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412200927734375 × 214)
    floor (0.412200927734375 × 16384)
    floor (6753.5)     		tx = 6753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122589111328125 × 214)
    floor (0.122589111328125 × 16384)
    floor (2008.5)     		ty = 2008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6753 / 2008 ti = "14/6753/2008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6753/2008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6753 ÷ 214
    6753 ÷ 16384     		x = 0.41217041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2008 ÷ 214
    2008 ÷ 16384     		y = 0.12255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41217041015625 × 2 - 1) × π
    -0.1756591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55184959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12255859375 × 2 - 1) × π
    0.7548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37153429800342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55184959} λ = -0.55184959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37153429800342))-π/2
    2×atan(10.7138178693834)-π/2
    2×1.47772855764175-π/2
    2.9554571152835-1.57079632675     		φ = 1.38466079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55184959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.618652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38466079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.335219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6753 KachelY 2008 -0.55184959 1.38466079 -31.618652 79.335219
    Oben rechts KachelX + 1 6754 KachelY 2008 -0.55146609 1.38466079 -31.596680 79.335219
    Unten links KachelX 6753 KachelY + 1 2009 -0.55184959 1.38458980 -31.618652 79.331152
    Unten rechts KachelX + 1 6754 KachelY + 1 2009 -0.55146609 1.38458980 -31.596680 79.331152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38466079-1.38458980) × R
    7.0989999999993e-05 × 6371000     		dl = 452.277289999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38466079-1.38458980) × R
    7.0989999999993e-05 × 6371000     		dr = 452.277289999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55184959--0.55146609) × cos(1.38466079) × R
    0.000383499999999981 × 0.185062574973451 × 6371000     		do = 452.15941058725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55184959--0.55146609) × cos(1.38458980) × R
    0.000383499999999981 × 0.185132338278268 × 6371000     		du = 452.329861769998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38466079)-sin(1.38458980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185062574973451-0.185132338278268)×R²
    abs(-0.55146609--0.55184959)×6.97633048168944e-05×R²
    0.000383499999999981×6.97633048168944e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.97633048168944e-05×40589641000000     		ar = 204539.978552785m²