Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6753 / 1633
↖ ↑ ↗
← N 80.757086°
W 31.618652°		 ← 392.44 m → N 80.757086°
W 31.596680°		 →
↑
392.52 m
↓
↑
392.52 m
↓
N 80.753556°
W 31.618652°		 ← 392.59 m →
154 069 m²		 N 80.753556°
W 31.596680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412200927734375 y=0.099700927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412200927734375 × 214)
    floor (0.412200927734375 × 16384)
    floor (6753.5)     		tx = 6753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.099700927734375 × 214)
    floor (0.099700927734375 × 16384)
    floor (1633.5)     		ty = 1633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6753 / 1633 ti = "14/6753/1633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6753/1633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6753 ÷ 214
    6753 ÷ 16384     		x = 0.41217041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1633 ÷ 214
    1633 ÷ 16384     		y = 0.09967041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41217041015625 × 2 - 1) × π
    -0.1756591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55184959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09967041015625 × 2 - 1) × π
    0.8006591796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51534499686359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55184959} λ = -0.55184959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51534499686359))-π/2
    2×atan(12.3708759563933)-π/2
    2×1.49013668691579-π/2
    2.98027337383158-1.57079632675     		φ = 1.40947705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55184959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.618652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40947705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.757086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6753 KachelY 1633 -0.55184959 1.40947705 -31.618652 80.757086
    Oben rechts KachelX + 1 6754 KachelY 1633 -0.55146609 1.40947705 -31.596680 80.757086
    Unten links KachelX 6753 KachelY + 1 1634 -0.55184959 1.40941544 -31.618652 80.753556
    Unten rechts KachelX + 1 6754 KachelY + 1 1634 -0.55146609 1.40941544 -31.596680 80.753556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40947705-1.40941544) × R
    6.16099999999342e-05 × 6371000     		dl = 392.517309999581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40947705-1.40941544) × R
    6.16099999999342e-05 × 6371000     		dr = 392.517309999581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55184959--0.55146609) × cos(1.40947705) × R
    0.000383499999999981 × 0.160620493636729 × 6371000     		do = 392.440598761987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55184959--0.55146609) × cos(1.40941544) × R
    0.000383499999999981 × 0.160681303402365 × 6371000     		du = 392.589173954955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40947705)-sin(1.40941544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160620493636729-0.160681303402365)×R²
    abs(-0.55146609--0.55184959)×6.0809765635661e-05×R²
    0.000383499999999981×6.0809765635661e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.0809765635661e-05×40589641000000     		ar = 154068.887376551m²