Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67521 / 47041
↖ ↑ ↗
← N 45.211069°
E  5.451966°		 ← 215.13 m → N 45.211069°
E  5.454712°		 →
↑
215.21 m
↓
↑
215.21 m
↓
N 45.209133°
E  5.451966°		 ← 215.13 m →
46 299 m²		 N 45.209133°
E  5.454712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515148162841797 y=0.358898162841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515148162841797 × 217)
    floor (0.515148162841797 × 131072)
    floor (67521.5)     		tx = 67521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358898162841797 × 217)
    floor (0.358898162841797 × 131072)
    floor (47041.5)     		ty = 47041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67521 / 47041 ti = "17/67521/47041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67521/47041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67521 ÷ 217
    67521 ÷ 131072     		x = 0.515144348144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47041 ÷ 217
    47041 ÷ 131072     		y = 0.358894348144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515144348144531 × 2 - 1) × π
    0.0302886962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09515475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.358894348144531 × 2 - 1) × π
    0.282211303710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.886592958472939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09515475} λ = 0.09515475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.886592958472939))-π/2
    2×atan(2.42684718081644)-π/2
    2×1.17993916635592-π/2
    2.35987833271183-1.57079632675     		φ = 0.78908201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09515475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.451966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78908201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.211069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67521 KachelY 47041 0.09515475 0.78908201 5.451966 45.211069
    Oben rechts KachelX + 1 67522 KachelY 47041 0.09520268 0.78908201 5.454712 45.211069
    Unten links KachelX 67521 KachelY + 1 47042 0.09515475 0.78904823 5.451966 45.209133
    Unten rechts KachelX + 1 67522 KachelY + 1 47042 0.09520268 0.78904823 5.454712 45.209133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78908201-0.78904823) × R
    3.37799999999833e-05 × 6371000     		dl = 215.212379999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78908201-0.78904823) × R
    3.37799999999833e-05 × 6371000     		dr = 215.212379999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09515475-0.09520268) × cos(0.78908201) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.704497116194007 × 6371000     		do = 215.126669530155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09515475-0.09520268) × cos(0.78904823) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.704521089689457 × 6371000     		du = 215.133990125392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78908201)-sin(0.78904823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704497116194007-0.704521089689457)×R²
    abs(0.09520268-0.09515475)×2.39734954498028e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39734954498028e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39734954498028e-05×40589641000000     		ar = 46298.71029665m²