Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67520 / 47040
↖ ↑ ↗
← N 45.213004°
E  5.449219°		 ← 215.16 m → N 45.213004°
E  5.451966°		 →
↑
215.15 m
↓
↑
215.15 m
↓
N 45.211069°
E  5.449219°		 ← 215.17 m →
46 293 m²		 N 45.211069°
E  5.451966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515140533447266 y=0.358890533447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515140533447266 × 217)
    floor (0.515140533447266 × 131072)
    floor (67520.5)     		tx = 67520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358890533447266 × 217)
    floor (0.358890533447266 × 131072)
    floor (47040.5)     		ty = 47040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67520 / 47040 ti = "17/67520/47040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67520/47040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67520 ÷ 217
    67520 ÷ 131072     		x = 0.51513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47040 ÷ 217
    47040 ÷ 131072     		y = 0.35888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51513671875 × 2 - 1) × π
    0.0302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09510681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35888671875 × 2 - 1) × π
    0.2822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.886640895372559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09510681} λ = 0.09510681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.886640895372559))-π/2
    2×atan(2.42696351913456)-π/2
    2×1.17995605177252-π/2
    2.35991210354504-1.57079632675     		φ = 0.78911578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09510681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78911578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.213004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67520 KachelY 47040 0.09510681 0.78911578 5.449219 45.213004
    Oben rechts KachelX + 1 67521 KachelY 47040 0.09515475 0.78911578 5.451966 45.213004
    Unten links KachelX 67520 KachelY + 1 47041 0.09510681 0.78908201 5.449219 45.211069
    Unten rechts KachelX + 1 67521 KachelY + 1 47041 0.09515475 0.78908201 5.451966 45.211069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78911578-0.78908201) × R
    3.3770000000044e-05 × 6371000     		dl = 215.148670000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78911578-0.78908201) × R
    3.3770000000044e-05 × 6371000     		dr = 215.148670000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09510681-0.09515475) × cos(0.78911578) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.70447314899197 × 6371000     		do = 215.164232840986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09510681-0.09515475) × cos(0.78908201) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.704497116194007 × 6371000     		du = 215.171553041404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78911578)-sin(0.78908201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70447314899197-0.704497116194007)×R²
    abs(0.09515475-0.09510681)×2.39672020367898e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39672020367898e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39672020367898e-05×40589641000000     		ar = 46293.0859975352m²