Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6752 / 1642
↖ ↑ ↗
← N 80.725269°
W 31.640625°		 ← 393.77 m → N 80.725269°
W 31.618652°		 →
↑
393.86 m
↓
↑
393.86 m
↓
N 80.721727°
W 31.640625°		 ← 393.92 m →
155 118 m²		 N 80.721727°
W 31.618652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412139892578125 y=0.100250244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412139892578125 × 214)
    floor (0.412139892578125 × 16384)
    floor (6752.5)     		tx = 6752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100250244140625 × 214)
    floor (0.100250244140625 × 16384)
    floor (1642.5)     		ty = 1642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6752 / 1642 ti = "14/6752/1642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6752/1642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6752 ÷ 214
    6752 ÷ 16384     		x = 0.412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1642 ÷ 214
    1642 ÷ 16384     		y = 0.1002197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412109375 × 2 - 1) × π
    -0.17578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55223308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1002197265625 × 2 - 1) × π
    0.799560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51189354009094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55223308} λ = -0.55223308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51189354009094))-π/2
    2×atan(12.3282520124533)-π/2
    2×1.48985902690382-π/2
    2.97971805380763-1.57079632675     		φ = 1.40892173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55223308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40892173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.725269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6752 KachelY 1642 -0.55223308 1.40892173 -31.640625 80.725269
    Oben rechts KachelX + 1 6753 KachelY 1642 -0.55184959 1.40892173 -31.618652 80.725269
    Unten links KachelX 6752 KachelY + 1 1643 -0.55223308 1.40885991 -31.640625 80.721727
    Unten rechts KachelX + 1 6753 KachelY + 1 1643 -0.55184959 1.40885991 -31.618652 80.721727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40892173-1.40885991) × R
    6.18199999999902e-05 × 6371000     		dl = 393.855219999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40892173-1.40885991) × R
    6.18199999999902e-05 × 6371000     		dr = 393.855219999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55223308--0.55184959) × cos(1.40892173) × R
    0.000383490000000042 × 0.161168578700576 × 6371000     		do = 393.769455164569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55223308--0.55184959) × cos(1.40885991) × R
    0.000383490000000042 × 0.161229590213002 × 6371000     		du = 393.918519394088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40892173)-sin(1.40885991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161168578700576-0.161229590213002)×R²
    abs(-0.55184959--0.55223308)×6.10115124259902e-05×R²
    0.000383490000000042×6.10115124259902e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.10115124259902e-05×40589641000000     		ar = 155117.510304646m²