Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67519 / 47240
↖ ↑ ↗
← N 44.824709°
E  5.446472°		 ← 216.63 m → N 44.824709°
E  5.449219°		 →
↑
216.61 m
↓
↑
216.61 m
↓
N 44.822760°
E  5.446472°		 ← 216.64 m →
46 926 m²		 N 44.822760°
E  5.449219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515132904052734 y=0.360416412353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515132904052734 × 217)
    floor (0.515132904052734 × 131072)
    floor (67519.5)     		tx = 67519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360416412353516 × 217)
    floor (0.360416412353516 × 131072)
    floor (47240.5)     		ty = 47240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67519 / 47240 ti = "17/67519/47240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67519/47240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67519 ÷ 217
    67519 ÷ 131072     		x = 0.515129089355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47240 ÷ 217
    47240 ÷ 131072     		y = 0.36041259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515129089355469 × 2 - 1) × π
    0.0302581787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09505887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36041259765625 × 2 - 1) × π
    0.2791748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.877053515448547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09505887} λ = 0.09505887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.877053515448547))-π/2
    2×atan(2.4038064828458)-π/2
    2×1.17656753627461-π/2
    2.35313507254923-1.57079632675     		φ = 0.78233875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09505887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.446472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78233875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.824709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67519 KachelY 47240 0.09505887 0.78233875 5.446472 44.824709
    Oben rechts KachelX + 1 67520 KachelY 47240 0.09510681 0.78233875 5.449219 44.824709
    Unten links KachelX 67519 KachelY + 1 47241 0.09505887 0.78230475 5.446472 44.822760
    Unten rechts KachelX + 1 67520 KachelY + 1 47241 0.09510681 0.78230475 5.449219 44.822760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78233875-0.78230475) × R
    3.39999999999785e-05 × 6371000     		dl = 216.613999999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78233875-0.78230475) × R
    3.39999999999785e-05 × 6371000     		dr = 216.613999999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09505887-0.09510681) × cos(0.78233875) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.709266800510727 × 6371000     		do = 216.628337403405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09505887-0.09510681) × cos(0.78230475) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.70929076806564 × 6371000     		du = 216.6356577116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78233875)-sin(0.78230475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709266800510727-0.70929076806564)×R²
    abs(0.09510681-0.09505887)×2.39675549127405e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39675549127405e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39675549127405e-05×40589641000000     		ar = 46925.5235233927m²