Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67518 / 47202
↖ ↑ ↗
← N 44.898687°
E  5.443726°		 ← 216.31 m → N 44.898687°
E  5.446472°		 →
↑
216.36 m
↓
↑
216.36 m
↓
N 44.896741°
E  5.443726°		 ← 216.31 m →
46 800 m²		 N 44.896741°
E  5.446472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515125274658203 y=0.360126495361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515125274658203 × 217)
    floor (0.515125274658203 × 131072)
    floor (67518.5)     		tx = 67518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360126495361328 × 217)
    floor (0.360126495361328 × 131072)
    floor (47202.5)     		ty = 47202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67518 / 47202 ti = "17/67518/47202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67518/47202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67518 ÷ 217
    67518 ÷ 131072     		x = 0.515121459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47202 ÷ 217
    47202 ÷ 131072     		y = 0.360122680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515121459960938 × 2 - 1) × π
    0.030242919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09501094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360122680664062 × 2 - 1) × π
    0.279754638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.87887511763411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09501094} λ = 0.09501094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87887511763411))-π/2
    2×atan(2.40818925260819)-π/2
    2×1.17721312248081-π/2
    2.35442624496163-1.57079632675     		φ = 0.78362992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09501094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.443726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78362992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.898687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67518 KachelY 47202 0.09501094 0.78362992 5.443726 44.898687
    Oben rechts KachelX + 1 67519 KachelY 47202 0.09505887 0.78362992 5.446472 44.898687
    Unten links KachelX 67518 KachelY + 1 47203 0.09501094 0.78359596 5.443726 44.896741
    Unten rechts KachelX + 1 67519 KachelY + 1 47203 0.09505887 0.78359596 5.446472 44.896741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78362992-0.78359596) × R
    3.39599999999995e-05 × 6371000     		dl = 216.359159999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78362992-0.78359596) × R
    3.39599999999995e-05 × 6371000     		dr = 216.359159999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09501094-0.09505887) × cos(0.78362992) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.70835601198241 × 6371000     		do = 216.30502978166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09501094-0.09505887) × cos(0.78359596) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.708379982421268 × 6371000     		du = 216.31234944353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78362992)-sin(0.78359596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70835601198241-0.708379982421268)×R²
    abs(0.09505887-0.09501094)×2.39704388574902e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39704388574902e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39704388574902e-05×40589641000000     		ar = 46800.366389943m²