Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67517 / 47243
↖ ↑ ↗
← N 44.818864°
E  5.440979°		 ← 216.65 m → N 44.818864°
E  5.443726°		 →
↑
216.61 m
↓
↑
216.61 m
↓
N 44.816916°
E  5.440979°		 ← 216.66 m →
46 930 m²		 N 44.816916°
E  5.443726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515117645263672 y=0.360439300537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515117645263672 × 217)
    floor (0.515117645263672 × 131072)
    floor (67517.5)     		tx = 67517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360439300537109 × 217)
    floor (0.360439300537109 × 131072)
    floor (47243.5)     		ty = 47243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67517 / 47243 ti = "17/67517/47243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67517/47243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67517 ÷ 217
    67517 ÷ 131072     		x = 0.515113830566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47243 ÷ 217
    47243 ÷ 131072     		y = 0.360435485839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515113830566406 × 2 - 1) × π
    0.0302276611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09496300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360435485839844 × 2 - 1) × π
    0.279129028320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.876909704749687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09496300} λ = 0.09496300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.876909704749687))-π/2
    2×atan(2.40346081461157)-π/2
    2×1.17651653361213-π/2
    2.35303306722426-1.57079632675     		φ = 0.78223674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09496300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.440979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78223674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.818864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67517 KachelY 47243 0.09496300 0.78223674 5.440979 44.818864
    Oben rechts KachelX + 1 67518 KachelY 47243 0.09501094 0.78223674 5.443726 44.818864
    Unten links KachelX 67517 KachelY + 1 47244 0.09496300 0.78220274 5.440979 44.816916
    Unten rechts KachelX + 1 67518 KachelY + 1 47244 0.09501094 0.78220274 5.443726 44.816916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78223674-0.78220274) × R
    3.39999999999785e-05 × 6371000     		dl = 216.613999999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78223674-0.78220274) × R
    3.39999999999785e-05 × 6371000     		dr = 216.613999999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09496300-0.09501094) × cos(0.78223674) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.709338707764295 × 6371000     		do = 216.650299729537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09496300-0.09501094) × cos(0.78220274) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.709362672859063 × 6371000     		du = 216.657619286341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78223674)-sin(0.78220274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709338707764295-0.709362672859063)×R²
    abs(0.09501094-0.09496300)×2.39650947680969e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39650947680969e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39650947680969e-05×40589641000000     		ar = 46930.2807893327m²