Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67516 / 47201
↖ ↑ ↗
← N 44.900632°
E  5.438232°		 ← 216.34 m → N 44.900632°
E  5.440979°		 →
↑
216.30 m
↓
↑
216.30 m
↓
N 44.898687°
E  5.438232°		 ← 216.35 m →
46 795 m²		 N 44.898687°
E  5.440979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515110015869141 y=0.360118865966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515110015869141 × 217)
    floor (0.515110015869141 × 131072)
    floor (67516.5)     		tx = 67516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360118865966797 × 217)
    floor (0.360118865966797 × 131072)
    floor (47201.5)     		ty = 47201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67516 / 47201 ti = "17/67516/47201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67516/47201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67516 ÷ 217
    67516 ÷ 131072     		x = 0.515106201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47201 ÷ 217
    47201 ÷ 131072     		y = 0.360115051269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515106201171875 × 2 - 1) × π
    0.03021240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09491506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360115051269531 × 2 - 1) × π
    0.279769897460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.87892305453373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09491506} λ = 0.09491506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87892305453373))-π/2
    2×atan(2.40830469650164)-π/2
    2×1.17723010038912-π/2
    2.35446020077825-1.57079632675     		φ = 0.78366387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09491506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.438232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78366387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.900632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67516 KachelY 47201 0.09491506 0.78366387 5.438232 44.900632
    Oben rechts KachelX + 1 67517 KachelY 47201 0.09496300 0.78366387 5.440979 44.900632
    Unten links KachelX 67516 KachelY + 1 47202 0.09491506 0.78362992 5.438232 44.898687
    Unten rechts KachelX + 1 67517 KachelY + 1 47202 0.09496300 0.78362992 5.440979 44.898687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78366387-0.78362992) × R
    3.39500000000603e-05 × 6371000     		dl = 216.295450000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78366387-0.78362992) × R
    3.39500000000603e-05 × 6371000     		dr = 216.295450000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09491506-0.09496300) × cos(0.78366387) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.708332047785412 × 6371000     		do = 216.342839860621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09491506-0.09496300) × cos(0.78362992) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.70835601198241 × 6371000     		du = 216.350159143222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78366387)-sin(0.78362992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708332047785412-0.70835601198241)×R²
    abs(0.09496300-0.09491506)×2.39641969976834e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39641969976834e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39641969976834e-05×40589641000000     		ar = 46794.7634701224m²