Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67516 / 47190
↖ ↑ ↗
← N 44.922029°
E  5.438232°		 ← 216.26 m → N 44.922029°
E  5.440979°		 →
↑
216.23 m
↓
↑
216.23 m
↓
N 44.920084°
E  5.438232°		 ← 216.27 m →
46 764 m²		 N 44.920084°
E  5.440979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515110015869141 y=0.360034942626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515110015869141 × 217)
    floor (0.515110015869141 × 131072)
    floor (67516.5)     		tx = 67516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360034942626953 × 217)
    floor (0.360034942626953 × 131072)
    floor (47190.5)     		ty = 47190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67516 / 47190 ti = "17/67516/47190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67516/47190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67516 ÷ 217
    67516 ÷ 131072     		x = 0.515106201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47190 ÷ 217
    47190 ÷ 131072     		y = 0.360031127929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515106201171875 × 2 - 1) × π
    0.03021240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09491506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360031127929688 × 2 - 1) × π
    0.279937744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.87945036042955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09491506} λ = 0.09491506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87945036042955))-π/2
    2×atan(2.40957494464227)-π/2
    2×1.17741681946462-π/2
    2.35483363892924-1.57079632675     		φ = 0.78403731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09491506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.438232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78403731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.922029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67516 KachelY 47190 0.09491506 0.78403731 5.438232 44.922029
    Oben rechts KachelX + 1 67517 KachelY 47190 0.09496300 0.78403731 5.440979 44.922029
    Unten links KachelX 67516 KachelY + 1 47191 0.09491506 0.78400337 5.438232 44.920084
    Unten rechts KachelX + 1 67517 KachelY + 1 47191 0.09496300 0.78400337 5.440979 44.920084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78403731-0.78400337) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dl = 216.231740000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78403731-0.78400337) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dr = 216.231740000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09491506-0.09496300) × cos(0.78403731) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.708068394801886 × 6371000     		do = 216.262313453024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09491506-0.09496300) × cos(0.78400337) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.708092360916604 × 6371000     		du = 216.269633321347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78403731)-sin(0.78400337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708068394801886-0.708092360916604)×R²
    abs(0.09496300-0.09491506)×2.39661147178882e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39661147178882e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39661147178882e-05×40589641000000     		ar = 46763.5677329685m²