Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67515 / 47251
↖ ↑ ↗
← N 44.803276°
E  5.435486°		 ← 216.71 m → N 44.803276°
E  5.438232°		 →
↑
216.74 m
↓
↑
216.74 m
↓
N 44.801327°
E  5.435486°		 ← 216.72 m →
46 971 m²		 N 44.801327°
E  5.438232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515102386474609 y=0.360500335693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515102386474609 × 217)
    floor (0.515102386474609 × 131072)
    floor (67515.5)     		tx = 67515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360500335693359 × 217)
    floor (0.360500335693359 × 131072)
    floor (47251.5)     		ty = 47251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67515 / 47251 ti = "17/67515/47251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67515/47251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67515 ÷ 217
    67515 ÷ 131072     		x = 0.515098571777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47251 ÷ 217
    47251 ÷ 131072     		y = 0.360496520996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515098571777344 × 2 - 1) × π
    0.0301971435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09486712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360496520996094 × 2 - 1) × π
    0.279006958007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.876526209552727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09486712} λ = 0.09486712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.876526209552727))-π/2
    2×atan(2.40253927564726)-π/2
    2×1.17638050123528-π/2
    2.35276100247056-1.57079632675     		φ = 0.78196468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09486712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.435486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78196468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.803276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67515 KachelY 47251 0.09486712 0.78196468 5.435486 44.803276
    Oben rechts KachelX + 1 67516 KachelY 47251 0.09491506 0.78196468 5.438232 44.803276
    Unten links KachelX 67515 KachelY + 1 47252 0.09486712 0.78193066 5.435486 44.801327
    Unten rechts KachelX + 1 67516 KachelY + 1 47252 0.09491506 0.78193066 5.438232 44.801327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78196468-0.78193066) × R
    3.4019999999968e-05 × 6371000     		dl = 216.741419999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78196468-0.78193066) × R
    3.4019999999968e-05 × 6371000     		dr = 216.741419999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09486712-0.09491506) × cos(0.78196468) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.709530447840725 × 6371000     		do = 216.708862084268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09486712-0.09491506) × cos(0.78193066) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.709554420466097 × 6371000     		du = 216.716183941112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78196468)-sin(0.78193066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709530447840725-0.709554420466097)×R²
    abs(0.09491506-0.09486712)×2.39726253719041e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39726253719041e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39726253719041e-05×40589641000000     		ar = 46970.5799739714m²