Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67515 / 47188
↖ ↑ ↗
← N 44.925919°
E  5.435486°		 ← 216.25 m → N 44.925919°
E  5.438232°		 →
↑
216.30 m
↓
↑
216.30 m
↓
N 44.923973°
E  5.435486°		 ← 216.25 m →
46 774 m²		 N 44.923973°
E  5.438232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515102386474609 y=0.360019683837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515102386474609 × 217)
    floor (0.515102386474609 × 131072)
    floor (67515.5)     		tx = 67515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360019683837891 × 217)
    floor (0.360019683837891 × 131072)
    floor (47188.5)     		ty = 47188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67515 / 47188 ti = "17/67515/47188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67515/47188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67515 ÷ 217
    67515 ÷ 131072     		x = 0.515098571777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47188 ÷ 217
    47188 ÷ 131072     		y = 0.360015869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515098571777344 × 2 - 1) × π
    0.0301971435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09486712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360015869140625 × 2 - 1) × π
    0.27996826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.87954623422879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09486712} λ = 0.09486712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87954623422879))-π/2
    2×atan(2.40980597082127)-π/2
    2×1.17745076091915-π/2
    2.35490152183829-1.57079632675     		φ = 0.78410520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09486712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.435486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78410520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.925919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67515 KachelY 47188 0.09486712 0.78410520 5.435486 44.925919
    Oben rechts KachelX + 1 67516 KachelY 47188 0.09491506 0.78410520 5.438232 44.925919
    Unten links KachelX 67515 KachelY + 1 47189 0.09486712 0.78407125 5.435486 44.923973
    Unten rechts KachelX + 1 67516 KachelY + 1 47189 0.09491506 0.78407125 5.438232 44.923973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78410520-0.78407125) × R
    3.39499999999493e-05 × 6371000     		dl = 216.295449999677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78410520-0.78407125) × R
    3.39499999999493e-05 × 6371000     		dr = 216.295449999677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09486712-0.09491506) × cos(0.78410520) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.708020453063637 × 6371000     		do = 216.24767081208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09486712-0.09491506) × cos(0.78407125) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.708044427871527 × 6371000     		du = 216.254993335521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78410520)-sin(0.78407125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708020453063637-0.708044427871527)×R²
    abs(0.09491506-0.09486712)×2.39748078907365e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39748078907365e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39748078907365e-05×40589641000000     		ar = 46774.1791884732m²