Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67514 / 47250
↖ ↑ ↗
← N 44.805225°
E  5.432739°		 ← 216.66 m → N 44.805225°
E  5.435486°		 →
↑
216.68 m
↓
↑
216.68 m
↓
N 44.803276°
E  5.432739°		 ← 216.66 m →
46 945 m²		 N 44.803276°
E  5.435486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515094757080078 y=0.360492706298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515094757080078 × 217)
    floor (0.515094757080078 × 131072)
    floor (67514.5)     		tx = 67514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360492706298828 × 217)
    floor (0.360492706298828 × 131072)
    floor (47250.5)     		ty = 47250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67514 / 47250 ti = "17/67514/47250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67514/47250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67514 ÷ 217
    67514 ÷ 131072     		x = 0.515090942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47250 ÷ 217
    47250 ÷ 131072     		y = 0.360488891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515090942382812 × 2 - 1) × π
    0.030181884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09481919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360488891601562 × 2 - 1) × π
    0.279022216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.876574146452347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09481919} λ = 0.09481919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.876574146452347))-π/2
    2×atan(2.40265444869184)-π/2
    2×1.17639750729305-π/2
    2.35279501458609-1.57079632675     		φ = 0.78199869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09481919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.432739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78199869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.805225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67514 KachelY 47250 0.09481919 0.78199869 5.432739 44.805225
    Oben rechts KachelX + 1 67515 KachelY 47250 0.09486712 0.78199869 5.435486 44.805225
    Unten links KachelX 67514 KachelY + 1 47251 0.09481919 0.78196468 5.432739 44.803276
    Unten rechts KachelX + 1 67515 KachelY + 1 47251 0.09486712 0.78196468 5.435486 44.803276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78199869-0.78196468) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dl = 216.677710000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78199869-0.78196468) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dr = 216.677710000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09481919-0.09486712) × cos(0.78199869) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.70950648144116 × 6371000     		do = 216.656339471037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09481919-0.09486712) × cos(0.78196468) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.709530447840725 × 6371000     		du = 216.66365789946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78199869)-sin(0.78196468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70950648144116-0.709530447840725)×R²
    abs(0.09486712-0.09481919)×2.39663995652561e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39663995652561e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39663995652561e-05×40589641000000     		ar = 46945.3923683058m²