Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67514 / 47245
↖ ↑ ↗
← N 44.814967°
E  5.432739°		 ← 216.62 m → N 44.814967°
E  5.435486°		 →
↑
216.68 m
↓
↑
216.68 m
↓
N 44.813018°
E  5.432739°		 ← 216.63 m →
46 937 m²		 N 44.813018°
E  5.435486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515094757080078 y=0.360454559326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515094757080078 × 217)
    floor (0.515094757080078 × 131072)
    floor (67514.5)     		tx = 67514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360454559326172 × 217)
    floor (0.360454559326172 × 131072)
    floor (47245.5)     		ty = 47245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67514 / 47245 ti = "17/67514/47245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67514/47245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67514 ÷ 217
    67514 ÷ 131072     		x = 0.515090942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47245 ÷ 217
    47245 ÷ 131072     		y = 0.360450744628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515090942382812 × 2 - 1) × π
    0.030181884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09481919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360450744628906 × 2 - 1) × π
    0.279098510742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.876813830950447
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09481919} λ = 0.09481919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.876813830950447))-π/2
    2×atan(2.40323039673764)-π/2
    2×1.17648252896476-π/2
    2.35296505792952-1.57079632675     		φ = 0.78216873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09481919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.432739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78216873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.814967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67514 KachelY 47245 0.09481919 0.78216873 5.432739 44.814967
    Oben rechts KachelX + 1 67515 KachelY 47245 0.09486712 0.78216873 5.435486 44.814967
    Unten links KachelX 67514 KachelY + 1 47246 0.09481919 0.78213472 5.432739 44.813018
    Unten rechts KachelX + 1 67515 KachelY + 1 47246 0.09486712 0.78213472 5.435486 44.813018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78216873-0.78213472) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dl = 216.677710000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78216873-0.78213472) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dr = 216.677710000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09481919-0.09486712) × cos(0.78216873) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.709386644182003 × 6371000     		do = 216.619745722311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09481919-0.09486712) × cos(0.78213472) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.70941061468441 × 6371000     		du = 216.627065403586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78216873)-sin(0.78213472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709386644182003-0.70941061468441)×R²
    abs(0.09486712-0.09481919)×2.39705024068781e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39705024068781e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39705024068781e-05×40589641000000     		ar = 46937.463454361m²