Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6751 / 2602
↖ ↑ ↗
← N 54.724620°
E116.674805°		 ← 2 821.98 m → N 54.724620°
E116.718750°		 →
↑
2 822.86 m
↓
↑
2 822.86 m
↓
N 54.699233°
E116.674805°		 ← 2 823.75 m →
7 968 566 m²		 N 54.699233°
E116.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82415771484375 y=0.31768798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82415771484375 × 213)
    floor (0.82415771484375 × 8192)
    floor (6751.5)     		tx = 6751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31768798828125 × 213)
    floor (0.31768798828125 × 8192)
    floor (2602.5)     		ty = 2602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6751 / 2602 ti = "13/6751/2602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6751/2602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6751 ÷ 213
    6751 ÷ 8192     		x = 0.8240966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2602 ÷ 213
    2602 ÷ 8192     		y = 0.317626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8240966796875 × 2 - 1) × π
    0.648193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03635950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317626953125 × 2 - 1) × π
    0.36474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14588364851782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03635950} λ = 2.03635950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14588364851782))-π/2
    2×atan(3.14521939771157)-π/2
    2×1.2629605655404-π/2
    2.5259211310808-1.57079632675     		φ = 0.95512480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03635950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.674805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95512480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.724620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6751 KachelY 2602 2.03635950 0.95512480 116.674805 54.724620
    Oben rechts KachelX + 1 6752 KachelY 2602 2.03712649 0.95512480 116.718750 54.724620
    Unten links KachelX 6751 KachelY + 1 2603 2.03635950 0.95468172 116.674805 54.699233
    Unten rechts KachelX + 1 6752 KachelY + 1 2603 2.03712649 0.95468172 116.718750 54.699233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95512480-0.95468172) × R
    0.00044308000000004 × 6371000     		dl = 2822.86268000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95512480-0.95468172) × R
    0.00044308000000004 × 6371000     		dr = 2822.86268000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03635950-2.03712649) × cos(0.95512480) × R
    0.000766989999999801 × 0.577506877409919 × 6371000     		do = 2821.98348139169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03635950-2.03712649) × cos(0.95468172) × R
    0.000766989999999801 × 0.577868544939017 × 6371000     		du = 2823.75076734584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95512480)-sin(0.95468172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577506877409919-0.577868544939017)×R²
    abs(2.03712649-2.03635950)×0.000361667529098608×R²
    0.000766989999999801×0.000361667529098608×6371000²
    0.000766989999999801×0.000361667529098608×40589641000000     		ar = 7968566.38634726m²