Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6750 / 6266
↖ ↑ ↗
← S 68.560384°
E116.630860°		 ← 1 786.11 m → S 68.560384°
E116.674805°		 →
↑
1 785.47 m
↓
↑
1 785.47 m
↓
S 68.576441°
E116.630860°		 ← 1 784.84 m →
3 187 919 m²		 S 68.576441°
E116.674805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82403564453125 y=0.76495361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82403564453125 × 213)
    floor (0.82403564453125 × 8192)
    floor (6750.5)     		tx = 6750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76495361328125 × 213)
    floor (0.76495361328125 × 8192)
    floor (6266.5)     		ty = 6266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6750 / 6266 ti = "13/6750/6266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6750/6266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6750 ÷ 213
    6750 ÷ 8192     		x = 0.823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6266 ÷ 213
    6266 ÷ 8192     		y = 0.764892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823974609375 × 2 - 1) × π
    0.64794921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03559251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764892578125 × 2 - 1) × π
    -0.52978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66436915480835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03559251} λ = 2.03559251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66436915480835))-π/2
    2×atan(0.189310045652485)-π/2
    2×0.187095947524891-π/2
    0.374191895049781-1.57079632675     		φ = -1.19660443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03559251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.630860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19660443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.560384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6750 KachelY 6266 2.03559251 -1.19660443 116.630860 -68.560384
    Oben rechts KachelX + 1 6751 KachelY 6266 2.03635950 -1.19660443 116.674805 -68.560384
    Unten links KachelX 6750 KachelY + 1 6267 2.03559251 -1.19688468 116.630860 -68.576441
    Unten rechts KachelX + 1 6751 KachelY + 1 6267 2.03635950 -1.19688468 116.674805 -68.576441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19660443--1.19688468) × R
    0.000280249999999871 × 6371000     		dl = 1785.47274999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19660443--1.19688468) × R
    0.000280249999999871 × 6371000     		dr = 1785.47274999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03559251-2.03635950) × cos(-1.19660443) × R
    0.000766990000000245 × 0.365520463382635 × 6371000     		do = 1786.11329167751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03559251-2.03635950) × cos(-1.19688468) × R
    0.000766990000000245 × 0.365259591406087 × 6371000     		du = 1784.83854251455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19660443)-sin(-1.19688468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365520463382635-0.365259591406087)×R²
    abs(2.03635950-2.03559251)×0.000260871976547894×R²
    0.000766990000000245×0.000260871976547894×6371000²
    0.000766990000000245×0.000260871976547894×40589641000000     		ar = 3187918.61661943m²