Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6750 / 2695
↖ ↑ ↗
← N 52.295042°
E116.630860°		 ← 2 988.56 m → N 52.295042°
E116.674805°		 →
↑
2 989.46 m
↓
↑
2 989.46 m
↓
N 52.268157°
E116.630860°		 ← 2 990.37 m →
8 936 897 m²		 N 52.268157°
E116.674805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82403564453125 y=0.32904052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82403564453125 × 213)
    floor (0.82403564453125 × 8192)
    floor (6750.5)     		tx = 6750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32904052734375 × 213)
    floor (0.32904052734375 × 8192)
    floor (2695.5)     		ty = 2695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6750 / 2695 ti = "13/6750/2695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6750/2695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6750 ÷ 213
    6750 ÷ 8192     		x = 0.823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2695 ÷ 213
    2695 ÷ 8192     		y = 0.3289794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823974609375 × 2 - 1) × π
    0.64794921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03559251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3289794921875 × 2 - 1) × π
    0.342041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07455354188318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03559251} λ = 2.03559251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07455354188318))-π/2
    2×atan(2.92868507338778)-π/2
    2×1.24175849855547-π/2
    2.48351699711095-1.57079632675     		φ = 0.91272067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03559251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.630860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91272067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.295042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6750 KachelY 2695 2.03559251 0.91272067 116.630860 52.295042
    Oben rechts KachelX + 1 6751 KachelY 2695 2.03635950 0.91272067 116.674805 52.295042
    Unten links KachelX 6750 KachelY + 1 2696 2.03559251 0.91225144 116.630860 52.268157
    Unten rechts KachelX + 1 6751 KachelY + 1 2696 2.03635950 0.91225144 116.674805 52.268157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91272067-0.91225144) × R
    0.000469229999999987 × 6371000     		dl = 2989.46432999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91272067-0.91225144) × R
    0.000469229999999987 × 6371000     		dr = 2989.46432999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03559251-2.03635950) × cos(0.91272067) × R
    0.000766990000000245 × 0.611595501513751 × 6371000     		do = 2988.55731434209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03559251-2.03635950) × cos(0.91225144) × R
    0.000766990000000245 × 0.611966675158383 × 6371000     		du = 2990.371051866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91272067)-sin(0.91225144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611595501513751-0.611966675158383)×R²
    abs(2.03635950-2.03559251)×0.000371173644631351×R²
    0.000766990000000245×0.000371173644631351×6371000²
    0.000766990000000245×0.000371173644631351×40589641000000     		ar = 8936896.70517587m²