Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6750 / 2010
↖ ↑ ↗
← N 79.327083°
W 31.684570°		 ← 452.49 m → N 79.327083°
W 31.662598°		 →
↑
452.53 m
↓
↑
452.53 m
↓
N 79.323014°
W 31.684570°		 ← 452.66 m →
204 804 m²		 N 79.323014°
W 31.662598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412017822265625 y=0.122711181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412017822265625 × 214)
    floor (0.412017822265625 × 16384)
    floor (6750.5)     		tx = 6750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122711181640625 × 214)
    floor (0.122711181640625 × 16384)
    floor (2010.5)     		ty = 2010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6750 / 2010 ti = "14/6750/2010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6750/2010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6750 ÷ 214
    6750 ÷ 16384     		x = 0.4119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2010 ÷ 214
    2010 ÷ 16384     		y = 0.1226806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.176025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55300007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1226806640625 × 2 - 1) × π
    0.754638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3707673076095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55300007} λ = -0.55300007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3707673076095))-π/2
    2×atan(10.7056036245215)-π/2
    2×1.47765756027929-π/2
    2.95531512055859-1.57079632675     		φ = 1.38451879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55300007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.684570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38451879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.327083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6750 KachelY 2010 -0.55300007 1.38451879 -31.684570 79.327083
    Oben rechts KachelX + 1 6751 KachelY 2010 -0.55261658 1.38451879 -31.662598 79.327083
    Unten links KachelX 6750 KachelY + 1 2011 -0.55300007 1.38444776 -31.684570 79.323014
    Unten rechts KachelX + 1 6751 KachelY + 1 2011 -0.55261658 1.38444776 -31.662598 79.323014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38451879-1.38444776) × R
    7.10299999999719e-05 × 6371000     		dl = 452.532129999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38451879-1.38444776) × R
    7.10299999999719e-05 × 6371000     		dr = 452.532129999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55300007--0.55261658) × cos(1.38451879) × R
    0.000383489999999931 × 0.185202120304105 × 6371000     		do = 452.488559466267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55300007--0.55261658) × cos(1.38444776) × R
    0.000383489999999931 × 0.185271921049821 × 6371000     		du = 452.659097680553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38451879)-sin(1.38444776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185202120304105-0.185271921049821)×R²
    abs(-0.55261658--0.55300007)×6.98007457156646e-05×R²
    0.000383489999999931×6.98007457156646e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.98007457156646e-05×40589641000000     		ar = 204804.19871356m²