Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6750 / 1668
↖ ↑ ↗
← N 80.632740°
W 31.684570°		 ← 397.66 m → N 80.632740°
W 31.662598°		 →
↑
397.74 m
↓
↑
397.74 m
↓
N 80.629163°
W 31.684570°		 ← 397.81 m →
158 197 m²		 N 80.629163°
W 31.662598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412017822265625 y=0.101837158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412017822265625 × 214)
    floor (0.412017822265625 × 16384)
    floor (6750.5)     		tx = 6750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101837158203125 × 214)
    floor (0.101837158203125 × 16384)
    floor (1668.5)     		ty = 1668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6750 / 1668 ti = "14/6750/1668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6750/1668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6750 ÷ 214
    6750 ÷ 16384     		x = 0.4119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1668 ÷ 214
    1668 ÷ 16384     		y = 0.101806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.176025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55300007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101806640625 × 2 - 1) × π
    0.79638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50192266496997
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55300007} λ = -0.55300007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50192266496997))-π/2
    2×atan(12.2059393466773)-π/2
    2×1.4890515649429-π/2
    2.9781031298858-1.57079632675     		φ = 1.40730680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55300007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.684570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40730680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.632740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6750 KachelY 1668 -0.55300007 1.40730680 -31.684570 80.632740
    Oben rechts KachelX + 1 6751 KachelY 1668 -0.55261658 1.40730680 -31.662598 80.632740
    Unten links KachelX 6750 KachelY + 1 1669 -0.55300007 1.40724437 -31.684570 80.629163
    Unten rechts KachelX + 1 6751 KachelY + 1 1669 -0.55261658 1.40724437 -31.662598 80.629163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40730680-1.40724437) × R
    6.24300000000577e-05 × 6371000     		dl = 397.741530000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40730680-1.40724437) × R
    6.24300000000577e-05 × 6371000     		dr = 397.741530000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55300007--0.55261658) × cos(1.40730680) × R
    0.000383489999999931 × 0.162762185689055 × 6371000     		do = 397.662979328153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55300007--0.55261658) × cos(1.40724437) × R
    0.000383489999999931 × 0.162823782888304 × 6371000     		du = 397.813474516381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40730680)-sin(1.40724437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162762185689055-0.162823782888304)×R²
    abs(-0.55261658--0.55300007)×6.1597199249197e-05×R²
    0.000383489999999931×6.1597199249197e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.1597199249197e-05×40589641000000     		ar = 158197.01096678m²