Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6750 / 1550
↖ ↑ ↗
← N 81.045460°
W 31.684570°		 ← 380.29 m → N 81.045460°
W 31.662598°		 →
↑
380.41 m
↓
↑
380.41 m
↓
N 81.042039°
W 31.684570°		 ← 380.43 m →
144 694 m²		 N 81.042039°
W 31.662598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412017822265625 y=0.094635009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412017822265625 × 214)
    floor (0.412017822265625 × 16384)
    floor (6750.5)     		tx = 6750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.094635009765625 × 214)
    floor (0.094635009765625 × 16384)
    floor (1550.5)     		ty = 1550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6750 / 1550 ti = "14/6750/1550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6750/1550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6750 ÷ 214
    6750 ÷ 16384     		x = 0.4119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1550 ÷ 214
    1550 ÷ 16384     		y = 0.0946044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.176025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55300007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0946044921875 × 2 - 1) × π
    0.810791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5471750982113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55300007} λ = -0.55300007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5471750982113))-π/2
    2×atan(12.7709760249882)-π/2
    2×1.49265322162736-π/2
    2.98530644325471-1.57079632675     		φ = 1.41451012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55300007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.684570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41451012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.045460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6750 KachelY 1550 -0.55300007 1.41451012 -31.684570 81.045460
    Oben rechts KachelX + 1 6751 KachelY 1550 -0.55261658 1.41451012 -31.662598 81.045460
    Unten links KachelX 6750 KachelY + 1 1551 -0.55300007 1.41445041 -31.684570 81.042039
    Unten rechts KachelX + 1 6751 KachelY + 1 1551 -0.55261658 1.41445041 -31.662598 81.042039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41451012-1.41445041) × R
    5.97100000001571e-05 × 6371000     		dl = 380.412410001001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41451012-1.41445041) × R
    5.97100000001571e-05 × 6371000     		dr = 380.412410001001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55300007--0.55261658) × cos(1.41451012) × R
    0.000383489999999931 × 0.155650758387442 × 6371000     		do = 380.288234966845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55300007--0.55261658) × cos(1.41445041) × R
    0.000383489999999931 × 0.155709740373345 × 6371000     		du = 380.432340627148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41451012)-sin(1.41445041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155650758387442-0.155709740373345)×R²
    abs(-0.55261658--0.55300007)×5.89819859032892e-05×R²
    0.000383489999999931×5.89819859032892e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.89819859032892e-05×40589641000000     		ar = 144693.773791971m²