Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6749 / 2011
↖ ↑ ↗
← N 79.323014°
W 31.706543°		 ← 452.67 m → N 79.323014°
W 31.684570°		 →
↑
452.79 m
↓
↑
452.79 m
↓
N 79.318942°
W 31.706543°		 ← 452.84 m →
205 002 m²		 N 79.318942°
W 31.684570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411956787109375 y=0.122772216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411956787109375 × 214)
    floor (0.411956787109375 × 16384)
    floor (6749.5)     		tx = 6749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122772216796875 × 214)
    floor (0.122772216796875 × 16384)
    floor (2011.5)     		ty = 2011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6749 / 2011 ti = "14/6749/2011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6749/2011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6749 ÷ 214
    6749 ÷ 16384     		x = 0.41192626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2011 ÷ 214
    2011 ÷ 16384     		y = 0.12274169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41192626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1761474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55338357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12274169921875 × 2 - 1) × π
    0.7545166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37038381241254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55338357} λ = -0.55338357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37038381241254))-π/2
    2×atan(10.7014988640792)-π/2
    2×1.47762204152584-π/2
    2.95524408305167-1.57079632675     		φ = 1.38444776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55338357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.706543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38444776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.323014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6749 KachelY 2011 -0.55338357 1.38444776 -31.706543 79.323014
    Oben rechts KachelX + 1 6750 KachelY 2011 -0.55300007 1.38444776 -31.684570 79.323014
    Unten links KachelX 6749 KachelY + 1 2012 -0.55338357 1.38437669 -31.706543 79.318942
    Unten rechts KachelX + 1 6750 KachelY + 1 2012 -0.55300007 1.38437669 -31.684570 79.318942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38444776-1.38437669) × R
    7.10699999999509e-05 × 6371000     		dl = 452.786969999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38444776-1.38437669) × R
    7.10699999999509e-05 × 6371000     		dr = 452.786969999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55338357--0.55300007) × cos(1.38444776) × R
    0.000383500000000092 × 0.185271921049821 × 6371000     		do = 452.670901354833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55338357--0.55300007) × cos(1.38437669) × R
    0.000383500000000092 × 0.185341760167756 × 6371000     		du = 452.841537770144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38444776)-sin(1.38437669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185271921049821-0.185341760167756)×R²
    abs(-0.55300007--0.55338357)×6.98391179355384e-05×R²
    0.000383500000000092×6.98391179355384e-05×6371000²
    0.000383500000000092×6.98391179355384e-05×40589641000000     		ar = 205002.116890269m²