Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6749 / 1653
↖ ↑ ↗
← N 80.686233°
W 31.706543°		 ← 395.42 m → N 80.686233°
W 31.684570°		 →
↑
395.51 m
↓
↑
395.51 m
↓
N 80.682676°
W 31.706543°		 ← 395.57 m →
156 424 m²		 N 80.682676°
W 31.684570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411956787109375 y=0.100921630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411956787109375 × 214)
    floor (0.411956787109375 × 16384)
    floor (6749.5)     		tx = 6749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100921630859375 × 214)
    floor (0.100921630859375 × 16384)
    floor (1653.5)     		ty = 1653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6749 / 1653 ti = "14/6749/1653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6749/1653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6749 ÷ 214
    6749 ÷ 16384     		x = 0.41192626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1653 ÷ 214
    1653 ÷ 16384     		y = 0.10089111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41192626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1761474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55338357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10089111328125 × 2 - 1) × π
    0.7982177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.50767509292438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55338357} λ = -0.55338357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50767509292438))-π/2
    2×atan(12.2763554710512)-π/2
    2×1.48951837773667-π/2
    2.97903675547334-1.57079632675     		φ = 1.40824043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55338357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.706543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40824043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.686233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6749 KachelY 1653 -0.55338357 1.40824043 -31.706543 80.686233
    Oben rechts KachelX + 1 6750 KachelY 1653 -0.55300007 1.40824043 -31.684570 80.686233
    Unten links KachelX 6749 KachelY + 1 1654 -0.55338357 1.40817835 -31.706543 80.682676
    Unten rechts KachelX + 1 6750 KachelY + 1 1654 -0.55300007 1.40817835 -31.684570 80.682676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40824043-1.40817835) × R
    6.20799999999644e-05 × 6371000     		dl = 395.511679999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40824043-1.40817835) × R
    6.20799999999644e-05 × 6371000     		dr = 395.511679999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55338357--0.55300007) × cos(1.40824043) × R
    0.000383500000000092 × 0.16184093453498 × 6371000     		do = 395.422475769318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55338357--0.55300007) × cos(1.40817835) × R
    0.000383500000000092 × 0.161902195813645 × 6371000     		du = 395.572154134363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40824043)-sin(1.40817835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16184093453498-0.161902195813645)×R²
    abs(-0.55300007--0.55338357)×6.12612786650146e-05×R²
    0.000383500000000092×6.12612786650146e-05×6371000²
    0.000383500000000092×6.12612786650146e-05×40589641000000     		ar = 156423.807522539m²