Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6749 / 1647
↖ ↑ ↗
← N 80.707545°
W 31.706543°		 ← 394.53 m → N 80.707545°
W 31.684570°		 →
↑
394.62 m
↓
↑
394.62 m
↓
N 80.703997°
W 31.706543°		 ← 394.67 m →
155 717 m²		 N 80.703997°
W 31.684570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411956787109375 y=0.100555419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411956787109375 × 214)
    floor (0.411956787109375 × 16384)
    floor (6749.5)     		tx = 6749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100555419921875 × 214)
    floor (0.100555419921875 × 16384)
    floor (1647.5)     		ty = 1647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6749 / 1647 ti = "14/6749/1647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6749/1647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6749 ÷ 214
    6749 ÷ 16384     		x = 0.41192626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1647 ÷ 214
    1647 ÷ 16384     		y = 0.10052490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41192626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1761474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55338357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10052490234375 × 2 - 1) × π
    0.7989501953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50997606410614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55338357} λ = -0.55338357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50997606410614))-π/2
    2×atan(12.3046355345354)-π/2
    2×1.48970436216559-π/2
    2.97940872433117-1.57079632675     		φ = 1.40861240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55338357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.706543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40861240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.707545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6749 KachelY 1647 -0.55338357 1.40861240 -31.706543 80.707545
    Oben rechts KachelX + 1 6750 KachelY 1647 -0.55300007 1.40861240 -31.684570 80.707545
    Unten links KachelX 6749 KachelY + 1 1648 -0.55338357 1.40855046 -31.706543 80.703997
    Unten rechts KachelX + 1 6750 KachelY + 1 1648 -0.55300007 1.40855046 -31.684570 80.703997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40861240-1.40855046) × R
    6.19399999999271e-05 × 6371000     		dl = 394.619739999535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40861240-1.40855046) × R
    6.19399999999271e-05 × 6371000     		dr = 394.619739999535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55338357--0.55300007) × cos(1.40861240) × R
    0.000383500000000092 × 0.161473857080355 × 6371000     		do = 394.525603316599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55338357--0.55300007) × cos(1.40855046) × R
    0.000383500000000092 × 0.161534983931327 × 6371000     		du = 394.674953237351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40861240)-sin(1.40855046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161473857080355-0.161534983931327)×R²
    abs(-0.55300007--0.55338357)×6.11268509718432e-05×R²
    0.000383500000000092×6.11268509718432e-05×6371000²
    0.000383500000000092×6.11268509718432e-05×40589641000000     		ar = 155717.059267136m²