Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6748 / 1654
↖ ↑ ↗
← N 80.682676°
W 31.728515°		 ← 395.56 m → N 80.682676°
W 31.706543°		 →
↑
395.64 m
↓
↑
395.64 m
↓
N 80.679118°
W 31.728515°		 ← 395.71 m →
156 529 m²		 N 80.679118°
W 31.706543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411895751953125 y=0.100982666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411895751953125 × 214)
    floor (0.411895751953125 × 16384)
    floor (6748.5)     		tx = 6748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100982666015625 × 214)
    floor (0.100982666015625 × 16384)
    floor (1654.5)     		ty = 1654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6748 / 1654 ti = "14/6748/1654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6748/1654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6748 ÷ 214
    6748 ÷ 16384     		x = 0.411865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1654 ÷ 214
    1654 ÷ 16384     		y = 0.1009521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411865234375 × 2 - 1) × π
    -0.17626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55376706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1009521484375 × 2 - 1) × π
    0.798095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50729159772742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55376706} λ = -0.55376706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50729159772742))-π/2
    2×atan(12.2716484503095)-π/2
    2×1.48948733925318-π/2
    2.97897467850637-1.57079632675     		φ = 1.40817835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55376706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.728515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40817835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.682676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6748 KachelY 1654 -0.55376706 1.40817835 -31.728515 80.682676
    Oben rechts KachelX + 1 6749 KachelY 1654 -0.55338357 1.40817835 -31.706543 80.682676
    Unten links KachelX 6748 KachelY + 1 1655 -0.55376706 1.40811625 -31.728515 80.679118
    Unten rechts KachelX + 1 6749 KachelY + 1 1655 -0.55338357 1.40811625 -31.706543 80.679118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40817835-1.40811625) × R
    6.21000000000649e-05 × 6371000     		dl = 395.639100000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40817835-1.40811625) × R
    6.21000000000649e-05 × 6371000     		dr = 395.639100000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55376706--0.55338357) × cos(1.40817835) × R
    0.000383489999999931 × 0.161902195813645 × 6371000     		do = 395.561839345302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55376706--0.55338357) × cos(1.40811625) × R
    0.000383489999999931 × 0.161963476204286 × 6371000     		du = 395.711560502053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40817835)-sin(1.40811625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161902195813645-0.161963476204286)×R²
    abs(-0.55338357--0.55376706)×6.12803906410164e-05×R²
    0.000383489999999931×6.12803906410164e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.12803906410164e-05×40589641000000     		ar = 156529.347935407m²