Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67465 / 47018
↖ ↑ ↗
← N 45.255555°
E  5.298157°		 ← 215 m → N 45.255555°
E  5.300904°		 →
↑
214.96 m
↓
↑
214.96 m
↓
N 45.253622°
E  5.298157°		 ← 215.01 m →
46 217 m²		 N 45.253622°
E  5.300904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514720916748047 y=0.358722686767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514720916748047 × 217)
    floor (0.514720916748047 × 131072)
    floor (67465.5)     		tx = 67465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358722686767578 × 217)
    floor (0.358722686767578 × 131072)
    floor (47018.5)     		ty = 47018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67465 / 47018 ti = "17/67465/47018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67465/47018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67465 ÷ 217
    67465 ÷ 131072     		x = 0.514717102050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47018 ÷ 217
    47018 ÷ 131072     		y = 0.358718872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.514717102050781 × 2 - 1) × π
    0.0294342041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09247028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.358718872070312 × 2 - 1) × π
    0.282562255859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.8876955071642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09247028} λ = 0.09247028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.8876955071642))-π/2
    2×atan(2.42952437359603)-π/2
    2×1.18032738559727-π/2
    2.36065477119455-1.57079632675     		φ = 0.78985844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09247028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.298157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78985844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.255555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67465 KachelY 47018 0.09247028 0.78985844 5.298157 45.255555
    Oben rechts KachelX + 1 67466 KachelY 47018 0.09251822 0.78985844 5.300904 45.255555
    Unten links KachelX 67465 KachelY + 1 47019 0.09247028 0.78982470 5.298157 45.253622
    Unten rechts KachelX + 1 67466 KachelY + 1 47019 0.09251822 0.78982470 5.300904 45.253622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78985844-0.78982470) × R
    3.37400000000043e-05 × 6371000     		dl = 214.957540000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78985844-0.78982470) × R
    3.37400000000043e-05 × 6371000     		dr = 214.957540000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09247028-0.09251822) × cos(0.78985844) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.703945866208883 × 6371000     		do = 215.003187106773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09247028-0.09251822) × cos(0.78982470) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.703969829765638 × 6371000     		du = 215.010506193828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78985844)-sin(0.78982470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703945866208883-0.703969829765638)×R²
    abs(0.09251822-0.09247028)×2.39635567548246e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39635567548246e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39635567548246e-05×40589641000000     		ar = 46217.3428436727m²