Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67464 / 47016
↖ ↑ ↗
← N 45.259422°
E  5.295410°		 ← 214.99 m → N 45.259422°
E  5.298157°		 →
↑
214.96 m
↓
↑
214.96 m
↓
N 45.257489°
E  5.295410°		 ← 215 m →
46 214 m²		 N 45.257489°
E  5.298157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514713287353516 y=0.358707427978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514713287353516 × 217)
    floor (0.514713287353516 × 131072)
    floor (67464.5)     		tx = 67464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358707427978516 × 217)
    floor (0.358707427978516 × 131072)
    floor (47016.5)     		ty = 47016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67464 / 47016 ti = "17/67464/47016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67464/47016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67464 ÷ 217
    67464 ÷ 131072     		x = 0.51470947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47016 ÷ 217
    47016 ÷ 131072     		y = 0.35870361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51470947265625 × 2 - 1) × π
    0.0294189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09242234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35870361328125 × 2 - 1) × π
    0.2825927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.88779138096344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09242234} λ = 0.09242234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.88779138096344))-π/2
    2×atan(2.42975731249427)-π/2
    2×1.18036112943052-π/2
    2.36072225886105-1.57079632675     		φ = 0.78992593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09242234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.295410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78992593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.259422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67464 KachelY 47016 0.09242234 0.78992593 5.295410 45.259422
    Oben rechts KachelX + 1 67465 KachelY 47016 0.09247028 0.78992593 5.298157 45.259422
    Unten links KachelX 67464 KachelY + 1 47017 0.09242234 0.78989219 5.295410 45.257489
    Unten rechts KachelX + 1 67465 KachelY + 1 47017 0.09247028 0.78989219 5.298157 45.257489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78992593-0.78989219) × R
    3.37400000000043e-05 × 6371000     		dl = 214.957540000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78992593-0.78989219) × R
    3.37400000000043e-05 × 6371000     		dr = 214.957540000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09242234-0.09247028) × cos(0.78992593) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.7038979295883 × 6371000     		do = 214.988546028958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09242234-0.09247028) × cos(0.78989219) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.703921894747991 × 6371000     		du = 214.995865605591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78992593)-sin(0.78989219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7038979295883-0.703921894747991)×R²
    abs(0.09247028-0.09242234)×2.39651596914969e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39651596914969e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39651596914969e-05×40589641000000     		ar = 46214.1956861312m²