Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6746 / 1670
↖ ↑ ↗
← N 80.625585°
W 31.772461°		 ← 397.96 m → N 80.625585°
W 31.750488°		 →
↑
398.06 m
↓
↑
398.06 m
↓
N 80.622005°
W 31.772461°		 ← 398.11 m →
158 444 m²		 N 80.622005°
W 31.750488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411773681640625 y=0.101959228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411773681640625 × 214)
    floor (0.411773681640625 × 16384)
    floor (6746.5)     		tx = 6746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101959228515625 × 214)
    floor (0.101959228515625 × 16384)
    floor (1670.5)     		ty = 1670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6746 / 1670 ti = "14/6746/1670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6746/1670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6746 ÷ 214
    6746 ÷ 16384     		x = 0.4117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1670 ÷ 214
    1670 ÷ 16384     		y = 0.1019287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4117431640625 × 2 - 1) × π
    -0.176513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55453405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1019287109375 × 2 - 1) × π
    0.796142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50115567457605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55453405} λ = -0.55453405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50115567457605))-π/2
    2×atan(12.1965810977519)-π/2
    2×1.48898912280381-π/2
    2.97797824560762-1.57079632675     		φ = 1.40718192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55453405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.772461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40718192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.625585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6746 KachelY 1670 -0.55453405 1.40718192 -31.772461 80.625585
    Oben rechts KachelX + 1 6747 KachelY 1670 -0.55415056 1.40718192 -31.750488 80.625585
    Unten links KachelX 6746 KachelY + 1 1671 -0.55453405 1.40711944 -31.772461 80.622005
    Unten rechts KachelX + 1 6747 KachelY + 1 1671 -0.55415056 1.40711944 -31.750488 80.622005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40718192-1.40711944) × R
    6.24799999999759e-05 × 6371000     		dl = 398.060079999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40718192-1.40711944) × R
    6.24799999999759e-05 × 6371000     		dr = 398.060079999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55453405--0.55415056) × cos(1.40718192) × R
    0.000383490000000042 × 0.162885399185846 × 6371000     		do = 397.964016365957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55453405--0.55415056) × cos(1.40711944) × R
    0.000383490000000042 × 0.16294704444718 × 6371000     		du = 398.114628980181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40718192)-sin(1.40711944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162885399185846-0.16294704444718)×R²
    abs(-0.55415056--0.55453405)×6.16452613336482e-05×R²
    0.000383490000000042×6.16452613336482e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.16452613336482e-05×40589641000000     		ar = 158443.56467694m²