Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6746 / 1451
↖ ↑ ↗
← N 81.377773°
W 31.772461°		 ← 366.28 m → N 81.377773°
W 31.750488°		 →
↑
366.33 m
↓
↑
366.33 m
↓
N 81.374479°
W 31.772461°		 ← 366.42 m →
134 207 m²		 N 81.374479°
W 31.750488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411773681640625 y=0.088592529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411773681640625 × 214)
    floor (0.411773681640625 × 16384)
    floor (6746.5)     		tx = 6746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.088592529296875 × 214)
    floor (0.088592529296875 × 16384)
    floor (1451.5)     		ty = 1451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6746 / 1451 ti = "14/6746/1451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6746/1451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6746 ÷ 214
    6746 ÷ 16384     		x = 0.4117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1451 ÷ 214
    1451 ÷ 16384     		y = 0.08856201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4117431640625 × 2 - 1) × π
    -0.176513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55453405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08856201171875 × 2 - 1) × π
    0.8228759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58514112271039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55453405} λ = -0.55453405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58514112271039))-π/2
    2×atan(13.2651609733526)-π/2
    2×1.49555320584189-π/2
    2.99110641168379-1.57079632675     		φ = 1.42031008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55453405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.772461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42031008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.377773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6746 KachelY 1451 -0.55453405 1.42031008 -31.772461 81.377773
    Oben rechts KachelX + 1 6747 KachelY 1451 -0.55415056 1.42031008 -31.750488 81.377773
    Unten links KachelX 6746 KachelY + 1 1452 -0.55453405 1.42025258 -31.772461 81.374479
    Unten rechts KachelX + 1 6747 KachelY + 1 1452 -0.55415056 1.42025258 -31.750488 81.374479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42031008-1.42025258) × R
    5.74999999998216e-05 × 6371000     		dl = 366.332499998863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42031008-1.42025258) × R
    5.74999999998216e-05 × 6371000     		dr = 366.332499998863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55453405--0.55415056) × cos(1.42031008) × R
    0.000383490000000042 × 0.149918901555914 × 6371000     		do = 366.284077582002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55453405--0.55415056) × cos(1.42025258) × R
    0.000383490000000042 × 0.149975751460138 × 6371000     		du = 366.422974108814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42031008)-sin(1.42025258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149918901555914-0.149975751460138)×R²
    abs(-0.55415056--0.55453405)×5.68499042248594e-05×R²
    0.000383490000000042×5.68499042248594e-05×6371000²
    0.000383490000000042×5.68499042248594e-05×40589641000000     		ar = 134207.203043959m²