Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6745 / 6251
↖ ↑ ↗
← S 68.318146°
E116.411133°		 ← 1 805.33 m → S 68.318146°
E116.455078°		 →
↑
1 804.65 m
↓
↑
1 804.65 m
↓
S 68.334376°
E116.411133°		 ← 1 804.04 m →
3 256 822 m²		 S 68.334376°
E116.455078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82342529296875 y=0.76312255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82342529296875 × 213)
    floor (0.82342529296875 × 8192)
    floor (6745.5)     		tx = 6745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76312255859375 × 213)
    floor (0.76312255859375 × 8192)
    floor (6251.5)     		ty = 6251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6745 / 6251 ti = "13/6745/6251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6745/6251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6745 ÷ 213
    6745 ÷ 8192     		x = 0.8233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6251 ÷ 213
    6251 ÷ 8192     		y = 0.7630615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8233642578125 × 2 - 1) × π
    0.646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03175755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7630615234375 × 2 - 1) × π
    -0.526123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65286429889954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03175755} λ = 2.03175755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65286429889954))-π/2
    2×atan(0.191500607335917)-π/2
    2×0.189209869939897-π/2
    0.378419739879794-1.57079632675     		φ = -1.19237659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03175755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.411133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19237659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.318146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6745 KachelY 6251 2.03175755 -1.19237659 116.411133 -68.318146
    Oben rechts KachelX + 1 6746 KachelY 6251 2.03252454 -1.19237659 116.455078 -68.318146
    Unten links KachelX 6745 KachelY + 1 6252 2.03175755 -1.19265985 116.411133 -68.334376
    Unten rechts KachelX + 1 6746 KachelY + 1 6252 2.03252454 -1.19265985 116.455078 -68.334376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19237659--1.19265985) × R
    0.000283260000000007 × 6371000     		dl = 1804.64946000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19237659--1.19265985) × R
    0.000283260000000007 × 6371000     		dr = 1804.64946000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03175755-2.03252454) × cos(-1.19237659) × R
    0.000766989999999801 × 0.369452472333197 × 6371000     		do = 1805.32702702961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03175755-2.03252454) × cos(-1.19265985) × R
    0.000766989999999801 × 0.369189238265422 × 6371000     		du = 1804.04073552373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19237659)-sin(-1.19265985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369452472333197-0.369189238265422)×R²
    abs(2.03252454-2.03175755)×0.000263234067774787×R²
    0.000766989999999801×0.000263234067774787×6371000²
    0.000766989999999801×0.000263234067774787×40589641000000     		ar = 3256821.8135924m²