Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6745 / 1560
↖ ↑ ↗
← N 81.011194°
W 31.794434°		 ← 381.74 m → N 81.011194°
W 31.772461°		 →
↑
381.81 m
↓
↑
381.81 m
↓
N 81.007760°
W 31.794434°		 ← 381.89 m →
145 782 m²		 N 81.007760°
W 31.772461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411712646484375 y=0.095245361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411712646484375 × 214)
    floor (0.411712646484375 × 16384)
    floor (6745.5)     		tx = 6745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.095245361328125 × 214)
    floor (0.095245361328125 × 16384)
    floor (1560.5)     		ty = 1560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6745 / 1560 ti = "14/6745/1560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6745/1560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6745 ÷ 214
    6745 ÷ 16384     		x = 0.41168212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1560 ÷ 214
    1560 ÷ 16384     		y = 0.09521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41168212890625 × 2 - 1) × π
    -0.1766357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55491755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09521484375 × 2 - 1) × π
    0.8095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.5433401462417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55491755} λ = -0.55491755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5433401462417))-π/2
    2×atan(12.7220937358516)-π/2
    2×1.49235419902427-π/2
    2.98470839804853-1.57079632675     		φ = 1.41391207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55491755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.794434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41391207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.011194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6745 KachelY 1560 -0.55491755 1.41391207 -31.794434 81.011194
    Oben rechts KachelX + 1 6746 KachelY 1560 -0.55453405 1.41391207 -31.772461 81.011194
    Unten links KachelX 6745 KachelY + 1 1561 -0.55491755 1.41385214 -31.794434 81.007760
    Unten rechts KachelX + 1 6746 KachelY + 1 1561 -0.55453405 1.41385214 -31.772461 81.007760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41391207-1.41385214) × R
    5.99300000001524e-05 × 6371000     		dl = 381.814030000971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41391207-1.41385214) × R
    5.99300000001524e-05 × 6371000     		dr = 381.814030000971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55491755--0.55453405) × cos(1.41391207) × R
    0.000383499999999981 × 0.156241491572525 × 6371000     		do = 381.741477167062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55491755--0.55453405) × cos(1.41385214) × R
    0.000383499999999981 × 0.156300685284705 × 6371000     		du = 381.886103891367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41391207)-sin(1.41385214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156241491572525-0.156300685284705)×R²
    abs(-0.55453405--0.55491755)×5.91937121798558e-05×R²
    0.000383499999999981×5.91937121798558e-05×6371000²
    0.000383499999999981×5.91937121798558e-05×40589641000000     		ar = 145781.862115222m²