Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6745 / 1559
↖ ↑ ↗
← N 81.014627°
W 31.794434°		 ← 381.60 m → N 81.014627°
W 31.772461°		 →
↑
381.69 m
↓
↑
381.69 m
↓
N 81.011194°
W 31.794434°		 ← 381.74 m →
145 678 m²		 N 81.011194°
W 31.772461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411712646484375 y=0.095184326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411712646484375 × 214)
    floor (0.411712646484375 × 16384)
    floor (6745.5)     		tx = 6745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.095184326171875 × 214)
    floor (0.095184326171875 × 16384)
    floor (1559.5)     		ty = 1559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6745 / 1559 ti = "14/6745/1559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6745/1559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6745 ÷ 214
    6745 ÷ 16384     		x = 0.41168212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1559 ÷ 214
    1559 ÷ 16384     		y = 0.09515380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41168212890625 × 2 - 1) × π
    -0.1766357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55491755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09515380859375 × 2 - 1) × π
    0.8096923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.54372364143866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55491755} λ = -0.55491755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54372364143866))-π/2
    2×atan(12.7269735333242)-π/2
    2×1.49238415228152-π/2
    2.98476830456303-1.57079632675     		φ = 1.41397198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55491755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.794434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41397198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.014627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6745 KachelY 1559 -0.55491755 1.41397198 -31.794434 81.014627
    Oben rechts KachelX + 1 6746 KachelY 1559 -0.55453405 1.41397198 -31.772461 81.014627
    Unten links KachelX 6745 KachelY + 1 1560 -0.55491755 1.41391207 -31.794434 81.011194
    Unten rechts KachelX + 1 6746 KachelY + 1 1560 -0.55453405 1.41391207 -31.772461 81.011194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41397198-1.41391207) × R
    5.99099999998298e-05 × 6371000     		dl = 381.686609998916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41397198-1.41391207) × R
    5.99099999998298e-05 × 6371000     		dr = 381.686609998916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55491755--0.55453405) × cos(1.41397198) × R
    0.000383499999999981 × 0.156182317053753 × 6371000     		do = 381.596897337598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55491755--0.55453405) × cos(1.41391207) × R
    0.000383499999999981 × 0.156241491572525 × 6371000     		du = 381.741477167062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41397198)-sin(1.41391207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156182317053753-0.156241491572525)×R²
    abs(-0.55453405--0.55491755)×5.91745187723536e-05×R²
    0.000383499999999981×5.91745187723536e-05×6371000²
    0.000383499999999981×5.91745187723536e-05×40589641000000     		ar = 145678.018266434m²