Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6744 / 3208
↖ ↑ ↗
← N 36.315125°
E116.367187°		 ← 3 937.40 m → N 36.315125°
E116.411133°		 →
↑
3 938.30 m
↓
↑
3 938.30 m
↓
N 36.279707°
E116.367187°		 ← 3 939.19 m →
15 510 171 m²		 N 36.279707°
E116.411133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82330322265625 y=0.39166259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82330322265625 × 213)
    floor (0.82330322265625 × 8192)
    floor (6744.5)     		tx = 6744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.39166259765625 × 213)
    floor (0.39166259765625 × 8192)
    floor (3208.5)     		ty = 3208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6744 / 3208 ti = "13/6744/3208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6744/3208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6744 ÷ 213
    6744 ÷ 8192     		x = 0.8232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3208 ÷ 213
    3208 ÷ 8192     		y = 0.3916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8232421875 × 2 - 1) × π
    0.646484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03099056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3916015625 × 2 - 1) × π
    0.216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.681087469801758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03099056} λ = 2.03099056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.681087469801758))-π/2
    2×atan(1.9760254322244)-π/2
    2×1.10230741443827-π/2
    2.20461482887654-1.57079632675     		φ = 0.63381850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03099056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.367187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63381850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.315125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6744 KachelY 3208 2.03099056 0.63381850 116.367187 36.315125
    Oben rechts KachelX + 1 6745 KachelY 3208 2.03175755 0.63381850 116.411133 36.315125
    Unten links KachelX 6744 KachelY + 1 3209 2.03099056 0.63320034 116.367187 36.279707
    Unten rechts KachelX + 1 6745 KachelY + 1 3209 2.03175755 0.63320034 116.411133 36.279707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63381850-0.63320034) × R
    0.000618159999999923 × 6371000     		dl = 3938.29735999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63381850-0.63320034) × R
    0.000618159999999923 × 6371000     		dr = 3938.29735999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03099056-2.03175755) × cos(0.63381850) × R
    0.000766990000000245 × 0.805771973626887 × 6371000     		do = 3937.3993423991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03099056-2.03175755) × cos(0.63320034) × R
    0.000766990000000245 × 0.806137910019567 × 6371000     		du = 3939.1874881265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63381850)-sin(0.63320034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.805771973626887-0.806137910019567)×R²
    abs(2.03175755-2.03099056)×0.000365936392680788×R²
    0.000766990000000245×0.000365936392680788×6371000²
    0.000766990000000245×0.000365936392680788×40589641000000     		ar = 15510171.0541325m²