Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6744 / 3176
↖ ↑ ↗
← N 37.439974°
E116.367187°		 ← 3 879.83 m → N 37.439974°
E116.411133°		 →
↑
3 880.77 m
↓
↑
3 880.77 m
↓
N 37.405074°
E116.367187°		 ← 3 881.64 m →
15 060 228 m²		 N 37.405074°
E116.411133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82330322265625 y=0.38775634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82330322265625 × 213)
    floor (0.82330322265625 × 8192)
    floor (6744.5)     		tx = 6744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.38775634765625 × 213)
    floor (0.38775634765625 × 8192)
    floor (3176.5)     		ty = 3176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6744 / 3176 ti = "13/6744/3176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6744/3176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6744 ÷ 213
    6744 ÷ 8192     		x = 0.8232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3176 ÷ 213
    3176 ÷ 8192     		y = 0.3876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8232421875 × 2 - 1) × π
    0.646484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03099056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3876953125 × 2 - 1) × π
    0.224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.705631162407227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03099056} λ = 2.03099056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.705631162407227))-π/2
    2×atan(2.02512446406852)-π/2
    2×1.11212357292612-π/2
    2.22424714585225-1.57079632675     		φ = 0.65345082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03099056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.367187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.65345082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 37.439974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6744 KachelY 3176 2.03099056 0.65345082 116.367187 37.439974
    Oben rechts KachelX + 1 6745 KachelY 3176 2.03175755 0.65345082 116.411133 37.439974
    Unten links KachelX 6744 KachelY + 1 3177 2.03099056 0.65284169 116.367187 37.405074
    Unten rechts KachelX + 1 6745 KachelY + 1 3177 2.03175755 0.65284169 116.411133 37.405074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.65345082-0.65284169) × R
    0.000609129999999958 × 6371000     		dl = 3880.76722999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.65345082-0.65284169) × R
    0.000609129999999958 × 6371000     		dr = 3880.76722999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03099056-2.03175755) × cos(0.65345082) × R
    0.000766990000000245 × 0.793990673399832 × 6371000     		do = 3879.8300978921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03099056-2.03175755) × cos(0.65284169) × R
    0.000766990000000245 × 0.794360834439696 × 6371000     		du = 3881.63888732962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.65345082)-sin(0.65284169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.793990673399832-0.794360834439696)×R²
    abs(2.03175755-2.03099056)×0.000370161039863981×R²
    0.000766990000000245×0.000370161039863981×6371000²
    0.000766990000000245×0.000370161039863981×40589641000000     		ar = 15060227.7129162m²