Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 6743 / 7819
↖ ↑ ↗
← N 79.549592°
W142.959595°		 ← 110.80 m → N 79.549592°
W142.954101°		 →
↑
110.79 m
↓
↑
110.79 m
↓
N 79.548596°
W142.959595°		 ← 110.81 m →
12 276 m²		 N 79.548596°
W142.954101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.102897644042969 y=0.119316101074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.102897644042969 × 216)
    floor (0.102897644042969 × 65536)
    floor (6743.5)     		tx = 6743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119316101074219 × 216)
    floor (0.119316101074219 × 65536)
    floor (7819.5)     		ty = 7819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6743 / 7819 ti = "16/6743/7819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6743/7819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6743 ÷ 216
    6743 ÷ 65536     		x = 0.102890014648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7819 ÷ 216
    7819 ÷ 65536     		y = 0.119308471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.102890014648438 × 2 - 1) × π
    -0.794219970703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.49511563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119308471679688 × 2 - 1) × π
    0.761383056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.39195541724156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49511563} λ = -2.49511563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39195541724156))-π/2
    2×atan(10.9348552555968)-π/2
    2×1.47959931139736-π/2
    2.95919862279472-1.57079632675     		φ = 1.38840230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49511563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.959595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38840230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.549592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6743 KachelY 7819 -2.49511563 1.38840230 -142.959595 79.549592
    Oben rechts KachelX + 1 6744 KachelY 7819 -2.49501975 1.38840230 -142.954101 79.549592
    Unten links KachelX 6743 KachelY + 1 7820 -2.49511563 1.38838491 -142.959595 79.548596
    Unten rechts KachelX + 1 6744 KachelY + 1 7820 -2.49501975 1.38838491 -142.954101 79.548596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38840230-1.38838491) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dl = 110.791690000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38840230-1.38838491) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dr = 110.791690000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49511563--2.49501975) × cos(1.38840230) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.181384406296849 × 6371000     		do = 110.798933035279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49511563--2.49501975) × cos(1.38838491) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.181401507808836 × 6371000     		du = 110.809379519186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38840230)-sin(1.38838491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181384406296849-0.181401507808836)×R²
    abs(-2.49501975--2.49511563)×1.71015119866391e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.71015119866391e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.71015119866391e-05×40589641000000     		ar = 12276.179733478m²